微分積分例

$x^{2} \sin (x) d x + x (y d) y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{2} \sin (x) d x$ を引きます。

$x y d y = - x^{2} \sin (x) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$y d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y d y = - \frac{1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

ステップ 3.3.2

$x$ を $x^{2} \sin (x)$ で因数分解します。

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

ステップ 3.3.3

共通因数を約分します。

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

ステップ 3.3.4

式を書き換えます。

$y d y = - (x \sin (x)) d x$

$y d y = - x \sin (x) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - x \sin (x) d x$

ステップ 4.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x \sin (x) d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x \sin (x) d x$

ステップ 4.3.2

$u = x$ と $d v = \sin (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

ステップ 4.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

ステップ 4.3.4

簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

ステップ 4.3.4.2

$\int \cos (x) d x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

ステップ 4.3.5

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$

ステップ 4.3.6

$- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$ を $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + K$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

ステップ 5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$- (- x \cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 5.2.2.1.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y^{2} = 2 (1 (x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

ステップ 5.2.2.1.1.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)$

ステップ 5.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K$

ステップ 5.2.2.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$

ステップ 5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K}$

ステップ 5.4

$2$ を $2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$2$ を $2 x \cos (x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 K}$

ステップ 5.4.2

$2$ を $- 2 \sin (x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

ステップ 5.4.3

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

ステップ 5.4.4

$2$ を $2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x))$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K}$

ステップ 5.4.5

$2$ を $2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

ステップ 5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

ステップ 5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

ステップ 5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

微分積分 例

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