微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

ステップ 1

$P (x) = \frac{2}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 1.2

$\frac{2}{x}$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 1.2.3

簡約します。

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{2 \ln (x)}$

ステップ 1.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{2})}$

ステップ 1.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{2}$

ステップ 2

各項に積分因数 $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $x^{2}$ を掛けます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{2}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

ステップ 2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

ステップ 2.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

ステップ 2.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

ステップ 2.3.2

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (3 x)$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (3 x)$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$x^{2} y = \int \sin (3 x) d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 6.1.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 6.1.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 6.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x^{2} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 6.2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x^{2} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

ステップ 6.3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

ステップ 6.4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

簡約します。

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

ステップ 6.5.2

$\frac{1}{3}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$x^{2} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

ステップ 6.6

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$x^{2} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

ステップ 6.7

項を並べ替えます。

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

ステップ 7

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$\cos (3 x)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{- \frac{\cos (3 x)}{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.3.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ に $\frac{\cos (3 x)}{3}$ をかけます。

$y = - \frac{\cos (3 x)}{x^{2} \cdot 3} + \frac{C}{x^{2}}$

ステップ 7.3.1.4

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

微分積分 例

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