微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$x$ を $4 x - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1.1

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 - x^{2}}$

ステップ 2.3.1.1.1.2

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 + x (- x)}$

ステップ 2.3.1.1.1.3

$x$ を $x \cdot 4 + x (- x)$ で因数分解します。

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot (4 - x)}$

ステップ 2.3.1.1.1.4

$x$ に $4 - x$ をかけます。

$\frac{1 - 2 x}{x (4 - x)}$

ステップ 2.3.1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (4 - x)$ です。

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.5

$4 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.5.2

$1 - 2 x$ を $1$ で割ります。

$1 - 2 x = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.6

$1$ と $- 2 x$ を並べ替えます。

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.7.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.7.1.2

$A (4 - x)$ を $1$ で割ります。

$- 2 x + 1 = A (4 - x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$- 2 x + 1 = A \cdot 4 + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.7.3

$4$ を $A$ の左に移動させます。

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.7.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A - A x + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.7.5

$4 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.7.5.1

共通因数を約分します。

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + \frac{B (x (4 - x))}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.1.7.5.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + (B) (x)$

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + B x$

ステップ 2.3.1.1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.8.1

$A$ を移動させます。

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

ステップ 2.3.1.1.8.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

ステップ 2.3.1.1.8.3

$4 A$ を移動させます。

$- 2 x + 1 = - x A + B x + 4 A$

ステップ 2.3.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 2 = - 1 A + B$

ステップ 2.3.1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 4 A$

ステップ 2.3.1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

ステップ 2.3.1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

$1 = 4 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.1

方程式を $4 A = 1$ として書き換えます。

$4 A = 1$

$- 2 = - 1 A + B$

ステップ 2.3.1.3.1.2

$4 A = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1.2.1

$4 A = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

ステップ 2.3.1.3.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

ステップ 2.3.1.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

ステップ 2.3.1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.2.1

$- 2 = - 1 A + B$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

$- 2 = - 1 (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.2.2.1

$- 1 (\frac{1}{4})$ を $- (\frac{1}{4})$ に書き換えます。

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.3

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.1

方程式を $- \frac{1}{4} + B = - 2$ として書き換えます。

$- \frac{1}{4} + B = - 2$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{4}$ を足します。

$B = - 2 + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.3.2.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$B = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.3.2.3

$- 2$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$B = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$B = \frac{- 2 \cdot 4 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.3.2.5.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$B = \frac{- 8 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.3.2.5.2

$- 8$ と $1$ をたし算します。

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.4

連立方程式を解きます。

$B = - \frac{7}{4} A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.3.5

すべての解をまとめます。

$B = - \frac{7}{4}, A = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.5.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{1}{4 x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{4 - x}$

ステップ 2.3.1.5.4

$\frac{1}{4 - x}$ に $\frac{7}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{(4 - x) \cdot 4}$

ステップ 2.3.1.5.5

$4$ を $4 - x$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

ステップ 2.3.6

$\frac{7}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{7}{4}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{7}{4} \int \frac{1}{4 - x} d x)$

ステップ 2.3.7

$u = 4 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.7.1

$u = 4 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.3.7.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.3.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 2.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} (- \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 2.3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + 1 (\frac{7}{4}) \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.10.2

$\frac{7}{4}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.11

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} (\ln (| u |) + C_{3})$

ステップ 2.3.12

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| u |) + C_{4}$

ステップ 2.3.13

$u$ のすべての発生を $4 - x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C$

微分積分 例

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