微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \cos^{2} (\frac{y}{x})$

ステップ 1

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + \cos^{2} (V)$

ステップ 2

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 3

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 4

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \cos^{2} (V)$

ステップ 5

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 5.1

変数を分けます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 5.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V + \cos^{2} (V) - V$

ステップ 5.1.1.1.2

$V + \cos^{2} (V) - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \cos^{2} (V)$

ステップ 5.1.1.1.2.2

$0$ と $\cos^{2} (V)$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$

ステップ 5.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

ステップ 5.1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

ステップ 5.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

ステップ 5.1.2

両辺に $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (V)} \cdot \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

ステップ 5.1.3

簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

まとめる。

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

ステップ 5.1.3.2

$\cos^{2} (V)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

ステップ 5.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 5.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2

両辺を積分します。

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ステップ 5.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2

左辺を積分します。

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ステップ 5.2.2.1

$\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ を $\sec^{2} (V)$ に変換します。

$\int \sec^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.2

$\tan (V)$ の微分係数が $\sec^{2} (V)$ なので、 $\sec^{2} (V)$ の積分は $\tan (V)$ です。

$\tan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\tan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 5.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\tan (V) = \ln (| x |) + C$

ステップ 5.3

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $V$ を取り出します。

$V = \arctan (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$

ステップ 7

$y$ について $\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$ を解きます。

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ステップ 7.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$\arctan (\ln (| x |) + C) x$ の因数を並べ替えます。

$y = x \arctan (\ln (| x |) + C)$

微分積分 例

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