微分積分例

$\frac{d w}{d t} = 10 e^{\frac{- t}{25}} - \frac{w}{25}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d w}{d t} + M (t) w = Q (t)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $\frac{w}{25}$ を足します。

$\frac{d w}{d t} + \frac{w}{25} = 10 e^{\frac{- t}{25}}$

ステップ 1.2

孤立係数で方程式を書き換えます。

$\frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} w = 10 e^{\frac{- 1}{25} t}$

ステップ 2

$P (t) = \frac{1}{25}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{1}{25} t}$

ステップ 2.4

$\frac{1}{25}$ と $t$ をまとめます。

$e^{\frac{t}{25}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{\frac{t}{25}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{\frac{t}{25}}$ を掛けます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} w) = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{25}$ と $e^{\frac{t}{25}}$ をまとめます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

ステップ 3.2.3

$\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ と $w$ をまとめます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{t}{25}} e^{\frac{- 1}{25} t}$

ステップ 3.4

指数を足して $e^{\frac{t}{25}}$ に $e^{\frac{- 1}{25} t}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$e^{\frac{- 1}{25} t}$ を移動させます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 (e^{\frac{- 1}{25} t} e^{\frac{t}{25}})$

ステップ 3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{- 1}{25} t + \frac{t}{25}}$

ステップ 3.4.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{1}{25} t + \frac{t}{25}}$

ステップ 3.4.3.2

$t$ と $\frac{1}{25}$ をまとめます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{t}{25} + \frac{t}{25}}$

ステップ 3.4.4

$- \frac{t}{25}$ と $\frac{t}{25}$ をたし算します。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{0}$

ステップ 3.5

$10 e^{0}$ を簡約します。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$

ステップ 3.6

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$ の因数を並べ替えます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{w e^{\frac{t}{25}}}{25} = 10$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] = 10$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] d t = \int 10 d t$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{\frac{t}{25}} w = \int 10 d t$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$

ステップ 8

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ の各項を $e^{\frac{t}{25}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ の各項を $e^{\frac{t}{25}}$ で割ります。

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{\frac{t}{25}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

ステップ 8.2.1.2

$w$ を $1$ で割ります。

$w = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

微分積分 例

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