微分積分例

$x^{4} + 12 y \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $x^{4}$ を引きます。

$12 y \frac{d y}{d x} = - x^{4}$

ステップ 1.1.2

$12 y \frac{d y}{d x} = - x^{4}$ の各項を $12 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$12 y \frac{d y}{d x} = - x^{4}$ の各項を $12 y$ で割ります。

$\frac{12 y \frac{d y}{d x}}{12 y} = \frac{- x^{4}}{12 y}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 y \frac{d y}{d x}}{12 y} = \frac{- x^{4}}{12 y}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{4}}{12 y}$

ステップ 1.1.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{4}}{12 y}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{4}}{12 y}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{4}}{12 y}$

ステップ 1.2

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{4}}{12 y})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{4}}{12 y}$

ステップ 1.3.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{4}}{12 y}$

ステップ 1.3.2.2

$y$ を $12 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{4}}{y \cdot 12}$

ステップ 1.3.2.3

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{4}}{y \cdot 12}$

ステップ 1.3.2.4

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{4}}{12}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y d y = - \frac{x^{4}}{12} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - \frac{x^{4}}{12} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{4}}{12} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{4}}{12} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{12}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{12}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{12} \int x^{4} d x)$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{12} (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- \frac{1}{12} (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ を $- \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{12}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5 \cdot 12} x^{5} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$5$ に $12$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{60} x^{5} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{60} x^{5} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{60} x^{5} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{60} x^{5} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{60} x^{5} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{60} x^{5} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{60} x^{5} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$x^{5}$ と $\frac{1}{60}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{5}}{60} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{5}}{60}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{5}}{60}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{5}}{60} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$2$ を $60$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{5}}{2 (30)} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{5}}{2 \cdot 30} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.4

式を書き換えます。

$y^{2} = \frac{- x^{5}}{30} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{x^{5}}{30} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{5}}{30} + 2 K}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{- \frac{x^{5}}{30} + 2 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2 K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{30}{30}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{5}}{30} + 2 K \cdot \frac{30}{30}}$

ステップ 3.4.2

$2 K$ と $\frac{30}{30}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{5}}{30} + \frac{2 K \cdot 30}{30}}$

ステップ 3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{5} + 2 K \cdot 30}{30}}$

ステップ 3.4.4

$30$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{5} + 60 K}{30}}$

ステップ 3.4.5

$\sqrt{\frac{- x^{5} + 60 K}{30}}$ を $\frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K}}{\sqrt{30}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K}}{\sqrt{30}}$

ステップ 3.4.6

$\frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K}}{\sqrt{30}}$ に $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K}}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$

ステップ 3.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.7.1

$\frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K}}{\sqrt{30}}$ に $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K} \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

ステップ 3.4.7.2

$\sqrt{30}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K} \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1} \sqrt{30}}$

ステップ 3.4.7.3

$\sqrt{30}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K} \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1} {\sqrt{30}}^{1}}$

ステップ 3.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K} \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K} \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}}$

ステップ 3.4.7.6

${\sqrt{30}}^{2}$ を $30$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{30}$ を $30^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K} \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K} \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K} \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K} \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K} \sqrt{30}}{30^{1}}$

ステップ 3.4.7.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{5} + 60 K} \sqrt{30}}{30}$

ステップ 3.4.8

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{5} + 60 K) \cdot 30}}{30}$

ステップ 3.4.9

$\pm \frac{\sqrt{(- x^{5} + 60 K) \cdot 30}}{30}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{30 (- x^{5} + 60 K)}}{30}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{30 (- x^{5} + 60 K)}}{30}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{30 (- x^{5} + 60 K)}}{30}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{30 (- x^{5} + 60 K)}}{30}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- x^{5} + 60 K)}}{30}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- x^{5} + 60 K)}}{30}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- x^{5} + 60 K)}}{30}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- x^{5} + 60 K)}}{30}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- x^{5} + 60 K)}}{30}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{30 (- x^{5} + K)}}{30}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- x^{5} + K)}}{30}$

微分積分 例

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