微分積分例

$x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$ の各項を $x \ln (x)$ で割ります。

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

ステップ 1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

ステップ 1.3

$\ln (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

ステップ 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

ステップ 1.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

ステップ 1.5

$y$ を $\frac{y}{x \ln (x)}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

ステップ 1.6

$y$ と $\frac{1}{x \ln (x)}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x \ln (x)} y = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{x \ln (x)} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x \ln (x)}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.2.1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{\ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$e^{\ln (| \ln (x) |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (\ln (x))}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\ln (x)$

ステップ 3

各項に積分因数 $\ln (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\ln (x)$ を掛けます。

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) (\frac{1}{x \ln (x)} y) = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x \ln (x)}$ と $y$ をまとめます。

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{x \ln (x)} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

ステップ 3.2.2

$\ln (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$\ln (x)$ を $x \ln (x)$ で因数分解します。

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

ステップ 3.3

$\ln (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

ステップ 3.3.2

式を書き換えます。

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = e^{x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] = e^{x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\ln (x) y] d x = \int e^{x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\ln (x) y = \int e^{x} d x$

ステップ 7

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\ln (x) y = e^{x} + C$

ステップ 8

$\ln (x) y = e^{x} + C$ の各項を $\ln (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$\ln (x) y = e^{x} + C$ の各項を $\ln (x)$ で割ります。

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\ln (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

微分積分 例

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