微分積分例

$e^{2 x} y^{2} d x + (e^{2 x} y - 2 y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = e^{2 x} y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}]$

ステップ 1.2

$e^{2 x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $e^{2 x} y^{2}$ の微分係数は $e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} (2 y)$

ステップ 1.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot e^{2 x} y$

ステップ 1.4.2

$2 e^{2 x} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y e^{2 x}$

ステップ 2

$N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y - 2 y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $e^{2 x} y - 2 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $e^{2 x} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

ステップ 2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

ステップ 2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

ステップ 2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

ステップ 2.3.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

ステップ 2.3.7

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

ステップ 2.4

$- 2 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2 y e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

ステップ 2.5.2

$2 y e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} y$

ステップ 2.5.3

$2 e^{2 x} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 y e^{2 x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 y e^{2 x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int e^{2 x} y - 2 y d y$

ステップ 5

$N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int e^{2 x} y d y + \int - 2 y d y$

ステップ 5.2

$e^{2 x}$ は $y$ に対して定数なので、 $e^{2 x}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y + \int - 2 y d y$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 y d y$

ステップ 5.4

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 \int y d y$

ステップ 5.5

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 5.6

簡約します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

ステップ 5.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

ステップ 5.7.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

ステップ 5.7.3

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 \frac{y^{2}}{2} + C$

ステップ 5.7.4

$- 2$ と $\frac{y^{2}}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- 2 y^{2}}{2} + C$

ステップ 5.7.5

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.5.1

$2$ を $- 2 y^{2}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2} + C$

ステップ 5.7.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 (1)} + C$

ステップ 5.7.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

ステップ 5.7.5.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- y^{2}}{1} + C$

ステップ 5.7.5.2.4

$- y^{2}$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

ステップ 5.8

項を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.2

総和則では、 $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.3

$\frac{y^{2}}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.4.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.8

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.9

$2$ と $\frac{y^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.10

$\frac{2 y^{2}}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.3.11.2

$y^{2} e^{2 x}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.4

$- y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.5

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

$y^{2} e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 8.6.3

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = e^{2 x} y^{2}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$e^{2 x} y^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = y^{2} e^{2 x}$

ステップ 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

方程式の両辺から $y^{2} e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

ステップ 9.1.2.2

$y^{2} e^{2 x}$ から $y^{2} e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 10

$0$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 0 d x$

ステップ 10.3

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$g (x) = 0 + C$

ステップ 10.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (x) = C$

ステップ 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - y^{2} + C$

ステップ 12.1.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

ステップ 12.2

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} - y^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例