微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{2 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{2 y}$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{y \cdot 2}$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{y \cdot 2}$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{x e^{x}}{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x e^{x} d x$

ステップ 2.3.2

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

ステップ 2.3.3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x}) + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$\frac{1}{2} (x e^{x})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.1.2.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.2

$\frac{x}{2}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{x e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{x e^{x}}{2} - \frac{e^{x}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{x e^{x}}{2} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{x e^{x}}{2} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = x e^{x} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.2.1

$- \frac{e^{x}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = x e^{x} + 2 \frac{- e^{x}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = x e^{x} + 2 \frac{- e^{x}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} = x e^{x} - e^{x} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + K}$

微分積分 例

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