微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = y x^{4}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $\frac{y}{x}$ を足します。

$\frac{d y}{d x} = y x^{4} + \frac{y}{x}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

$y$ を $y x^{4} + \frac{y}{x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1.1

$y$ を $y x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + \frac{y}{x}$

ステップ 1.2.1.2

$y$ を $\frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$

ステップ 1.2.1.3

$y$ を $y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4} + \frac{1}{x})$

ステップ 1.2.2

$x^{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{4} x}{x} + \frac{1}{x})$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x + 1}{x}$

ステップ 1.2.4

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.1

$x^{4}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.2.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x^{1} + 1}{x}$

ステップ 1.2.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4 + 1} + 1}{x}$

ステップ 1.2.4.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5} + 1}{x}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

ステップ 1.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} + 1}{x}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$x^{5}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.3

共通因数を約分します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.4

式を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{4}}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.5

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{x^{5}}{5} + \ln (| x |) + C$

ステップ 3.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{x^{5}}{5} + C$

ステップ 3.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$

ステップ 3.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

ステップ 3.5

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

ステップ 3.6

$y$ について解きます。

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ステップ 3.6.1

方程式を $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ として書き換えます。

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

ステップ 3.6.2

両辺に $| x |$ を掛けます。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

ステップ 3.6.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.3.1

$| x |$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

ステップ 3.6.3.1.2

式を書き換えます。

$| y | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

ステップ 3.6.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.6.4.1

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$ の因数を並べ替えます。

$| y | = | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

ステップ 3.6.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ を $e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm | x | (e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C})$

ステップ 4.2

$e^{\frac{x^{5}}{5}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{x^{5}}{5}})$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C | x | e^{\frac{x^{5}}{5}}$

微分積分 例

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