微分積分例

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ that satisfies the initial condition $y (1) = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

ステップ 1.2

$y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (y) = x + K$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (x + K)$

ステップ 4

初期条件を利用し、 $y = \tan (x + K)$ の $1$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = \tan (1 + K)$

ステップ 5

$K$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\tan (1 + K) = 0$ として書き換えます。

$\tan (1 + K) = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $K$ を取り出します。

$1 + K = \arctan (0)$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$1 + K = 0$

ステップ 5.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$K = - 1$

ステップ 5.5

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$1 + K = π + 0$

ステップ 5.6

$K$ について解きます。

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ステップ 5.6.1

$π$ と $0$ をたし算します。

$1 + K = π$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$K = π - 1$

ステップ 5.7

$\tan (1 + K)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.7.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.8

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 5.8.1

$π$ を $- 1$ に足し、正の角を求めます。

$- 1 + π$

ステップ 5.8.2

新しい角をリストします。

$K = - 1 + π$

ステップ 5.9

$\tan (1 + K)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$K = - 1 + π + π n, π - 1 + π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.10

$π - 1 + π + π n$ と $- 1 + π + π n$ を $- 1 + π + π n$ にまとめます。

$K = - 1 + π + π n$

ステップ 6

$- 1 + π + π n$ を $y = \tan (x + K)$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1 + π + π n$ を $K$ に代入します。

$y = \tan (x - 1 + π + π n)$

微分積分 例

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