微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 1 - x + 4 y$

ステップ 1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $4 y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - 4 y = 1 - x$

ステップ 1.2

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - 4 y = - x + 1$

ステップ 2

$P (x) = - 4$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 4 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- 4 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 4 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- 4 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{- 4 x}$ を掛けます。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} (- x) + e^{- 4 x} \cdot 1$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} (- x) + e^{- 4 x} \cdot 1$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot 1$

ステップ 3.3.2

$e^{- 4 x}$ に $1$ をかけます。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x}$

ステップ 3.4

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- 4 x} y = \int - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{- 4 x} y = \int - x e^{- 4 x} d x + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 4 x} y = - \int x e^{- 4 x} d x + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.3

$u = x$ と $d v = e^{- 4 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- 4 x} y = - (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$e^{- 4 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} y = - (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.4.2

$x$ と $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.4.3

$e^{- 4 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.6.2

$\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ に $1$ をかけます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.7

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.8

$u_{1} = - 4 x$ とします。次に $d u_{1} = - 4 d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$u_{1} = - 4 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1.1

$- 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 7.8.1.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \cdot 1$

ステップ 7.8.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4$

ステップ 7.8.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.9.2

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.10

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1})) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.11

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.12.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.12.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.13

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{- 4 x} d x$

ステップ 7.14

$u_{2} = - 4 x$ とします。次に $d u_{2} = - 4 d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.14.1

$u_{2} = - 4 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.14.1.1

$- 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 7.14.1.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.14.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \cdot 1$

ステップ 7.14.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4$

ステップ 7.14.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

ステップ 7.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.15.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

ステップ 7.15.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

ステップ 7.16

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

ステップ 7.17

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 7.18

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 7.19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.19.1

簡約します。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.19.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.19.2.1

$x$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.19.2.2

$e^{- 4 x}$ と $\frac{x}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.19.2.3

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u_{1}}}{16}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.20

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.20.1

$u_{1}$ のすべての発生を $- 4 x$ で置き換えます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.20.2

$u_{2}$ のすべての発生を $- 4 x$ で置き換えます。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

ステップ 7.21

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.21.1

分配則を当てはめます。

$e^{- 4 x} y = - - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

ステップ 7.21.2

$- - \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.21.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 4 x} y = 1 \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

ステップ 7.21.2.2

$\frac{e^{- 4 x} x}{4}$ に $1$ をかけます。

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

ステップ 7.21.3

$- - \frac{e^{- 4 x}}{16}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.21.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} + 1 \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

ステップ 7.21.3.2

$\frac{e^{- 4 x}}{16}$ に $1$ をかけます。

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

ステップ 7.21.4

$\frac{e^{- 4 x} x}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 4 x} y = \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

ステップ 7.21.5

$e^{- 4 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{- 4 x} y = \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} + C$

ステップ 7.22

項を並べ替えます。

$e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

ステップ 8

$e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$ の各項を $e^{- 4 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$ の各項を $e^{- 4 x}$ で割ります。

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{- 4 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x}{4} e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.2.2

$\frac{x}{4}$ と $e^{- 4 x}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.2.3

$\frac{1}{16}$ と $e^{- 4 x}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.2.4

$e^{- 4 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.3

$- \frac{e^{- 4 x}}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.1

$\frac{e^{- 4 x}}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.4.2

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} - e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.2.1.1

$e^{- 4 x}$ を $e^{- 4 x} - e^{- 4 x} \cdot 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.2.1.1.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 1 - e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.5.2.1.1.2

$e^{- 4 x}$ を $- e^{- 4 x} \cdot 4$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 1 + e^{- 4 x} (- 1 \cdot 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.5.2.1.1.3

$e^{- 4 x}$ を $e^{- 4 x} \cdot 1 + e^{- 4 x} (- 1 \cdot 4)$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} (1 - 1 \cdot 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.5.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} (1 - 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.5.2.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot - 3}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.5.2.2

$- 3$ を $e^{- 4 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{- 3 \cdot e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.1

$\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.2.1

$\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.2.2

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{16} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4 - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.4.1

$4$ を $x e^{- 4 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{4 \cdot (x e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.4.2

$e^{- 4 x}$ を $4 x e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.4.2.1

$e^{- 4 x}$ を $4 x e^{- 4 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.4.2.2

$e^{- 4 x}$ を $- 3 e^{- 4 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.4.2.3

$e^{- 4 x}$ を $e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.5

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + C \cdot \frac{16}{16}}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.6

$C$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + \frac{C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3) + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.8.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.8.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot - 3 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.8.3

$- 3$ を $e^{- 4 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 \cdot e^{- 4 x} + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.6.8.4

$16$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16}}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.8

$\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16}$ に $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ をかけます。

$y = \frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

ステップ 8.3.9

$\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{4 x e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

微分積分 例

微分積分例