微分積分例

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}$

ステップ 1

微分方程式を

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

\sqrt{x^{2}} = x

$\sqrt{x^{2}} = x$ と仮定します。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

ステップ 1.2

\sqrt{x^{2} - y^{2}}

$\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ と

\sqrt{x^{2}}

$\sqrt{x^{2}}$ を単一根にまとめます。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.3

\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ を分解し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分数

\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ を2つの分数に分割します。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

x^{2}

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.4

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ を

${(\frac{y}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。

$V$ を

$\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

ステップ 3

$y$ について

$V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、

$x$ について

$y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を

$\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

$1$ を

$1^{2}$ に書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1^{2} - V^{2}}$

ステップ 6.1.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

$a = 1$ であり、

$b = V$ です。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

方程式の両辺から

$V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$

ステップ 6.1.1.2.2

$V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1

$V$ から

$V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

ステップ 6.1.1.2.2.2

$0$ と

$\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ の各項を

$x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ の各項を

$x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を

$1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.2

両辺に

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.3

$\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

平方を完成させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って

$(1 + V) (1 - V)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

ステップ 6.2.2.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

ステップ 6.2.2.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

ステップ 6.2.2.1.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.2.1.1

$1$ に

$1$ をかけます。

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

ステップ 6.2.2.1.1.2.1.2

$- V$ に

$1$ をかけます。

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

ステップ 6.2.2.1.1.2.1.3

$V$ に

$1$ をかけます。

$1 - V + V + V (- V)$

ステップ 6.2.2.1.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 - V + V - V \cdot V$

ステップ 6.2.2.1.1.2.1.5

指数を足して

$V$ に

$V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.2.1.5.1

$V$ を移動させます。

$1 - V + V - (V \cdot V)$

ステップ 6.2.2.1.1.2.1.5.2

$V$ に

$V$ をかけます。

$1 - V + V - V^{2}$

ステップ 6.2.2.1.1.2.2

$- V$ と

$V$ をたし算します。

$1 + 0 - V^{2}$

ステップ 6.2.2.1.1.2.3

$1$ と

$0$ をたし算します。

$1 - V^{2}$

ステップ 6.2.2.1.1.3

$1$ と

$- V^{2}$ を並べ替えます。

$- V^{2} + 1$

ステップ 6.2.2.1.2

式

$a x^{2} + b x + c$ を利用して、

$a$ 、

$b$ 、

$c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

ステップ 6.2.2.1.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 6.2.2.1.4

公式

$d = \frac{b}{2 a}$ を利用して

$d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.4.1

$a$ と

$b$ の値を公式

$d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.2.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.4.2.1

$0$ と

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.4.2.1.1

$2$ を

$0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.2.1.4.2.1.2

$\frac{0}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 0$

ステップ 6.2.2.1.4.2.2

$- 1 \cdot 0$ を

$- 0$ に書き換えます。

$d = - 0$

ステップ 6.2.2.1.4.2.3

$- 1$ に

$0$ をかけます。

$d = 0$

ステップ 6.2.2.1.5

公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して

$e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.5.1

$c$ 、

$b$ 、および

$a$ の値を公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.2.1.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.5.2.1.1

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.2.1.5.2.1.2

$4$ に

$- 1$ をかけます。

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

ステップ 6.2.2.1.5.2.1.3

$0$ を

$- 4$ で割ります。

$e = 1 - 0$

ステップ 6.2.2.1.5.2.1.4

$- 1$ に

$0$ をかけます。

$e = 1 + 0$

ステップ 6.2.2.1.5.2.2

$1$ と

$0$ をたし算します。

$e = 1$

ステップ 6.2.2.1.6

$a$ 、

$d$ 、および

$e$ の値を頂点形

$- {(V + 0)}^{2} + 1$ に代入します。

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$u = V + 0$ とします。次に

$d u = d V$ 。

$u$ と

$d$

$u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$u = V + 0$ とします。

$\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

$V + 0$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

ステップ 6.2.2.2.1.2

総和則では、

$V + 0$ の

$V$ に関する積分は

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ です。

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

ステップ 6.2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は

$n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

ステップ 6.2.2.2.1.4

$0$ は

$V$ について定数なので、

$V$ について

$0$ の微分係数は

$0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.2.2.2.1.5

$1$ と

$0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2.2.2.2

$u$ と

$d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

$1$ を

$1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.2

$- u^{2}$ と

$1^{2}$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ の

$u$ に関する積分は

$\arcsin (u)$ である

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5

$u$ のすべての発生を

$V + 0$ で置き換えます。

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6

$V$ と

$0$ をたし算します。

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の

$x$ に関する積分は

$\ln (| x |)$ です。

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を

$C$ としてまとめます。

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から

$V$ を取り出します。

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を

$V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

ステップ 8

$y$ について

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

両辺に

$x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$\sin (\ln (| x |) + C) x$ の因数を並べ替えます。

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$

微分積分 例

微分積分例