微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\sqrt{y}$ を掛けます。

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

ステップ 1.2

$\sqrt{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\sqrt{y} d y = \sqrt{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \sqrt{y} d y = \int \sqrt{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int y^{\frac{1}{2}} d y = \int \sqrt{x} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{\frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int \sqrt{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $\frac{3}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{2}{3}$ と $y^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

まとめる。

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.4

式を書き換えます。

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.5

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.6

$y^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3}{2} K$

ステップ 3.2.2.1.1.3

まとめる。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3}{2} K$

ステップ 3.2.2.1.1.4

$\frac{3}{2}$ と $K$ をまとめます。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3 K}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3 K}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 K}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 K}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2.4

$x^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2}$

ステップ 3.3

方程式の両辺を $\frac{2}{3}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.4.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.1.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 3.4.1.2

簡約します。

$y = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = {(x^{\frac{3}{2}} + K)}^{\frac{2}{3}}$

微分積分 例

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