微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$ , $y (0) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

ステップ 1.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 2.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{y} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u = 1 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u = 1 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.3.1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 2.3.2

分数を複数の分数に分割します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1, 1$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ の各項に $y$ を掛けます。

$- \frac{1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$- \ln (| 1 - x |) y + C y$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = - y \ln (| 1 - x |) + C y$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$ として書き換えます。

$- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$

ステップ 3.3.2

$y$ を $- y \ln (| 1 - x |) + C y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$y$ を $- y \ln (| 1 - x |)$ で因数分解します。

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + C y = - 1$

ステップ 3.3.2.2

$y$ を $C y$ で因数分解します。

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C = - 1$

ステップ 3.3.2.3

$y$ を $y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C$ で因数分解します。

$y (- 1 \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

ステップ 3.3.3

$- 1 \ln (| 1 - x |)$ を $- \ln (| 1 - x |)$ に書き換えます。

$y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

ステップ 3.3.4

$y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ の各項を $- \ln (| 1 - x |) + C$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ の各項を $- \ln (| 1 - x |) + C$ で割ります。

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

ステップ 3.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

$- \ln (| 1 - x |) + C$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

ステップ 3.3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

ステップ 3.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

ステップ 3.3.4.3.2

$- 1$ を $- \ln (| 1 - x |)$ で因数分解します。

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) + C}$

ステップ 3.3.4.3.3

$- 1$ を $C$ で因数分解します。

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)}$

ステップ 3.3.4.3.4

$- 1$ を $- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)$ で因数分解します。

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |) - C)}$

ステップ 3.3.4.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.5.1

$- (\ln (| 1 - x |) - C)$ を $- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)$ に書き換えます。

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)}$

ステップ 3.3.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - - \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

ステップ 3.3.4.3.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = 1 \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

ステップ 3.3.4.3.5.4

$\frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$ の $0$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = \frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $\frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C} = 1$ として書き換えます。

$\frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C} = 1$

ステップ 6.2

各項を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 1$

ステップ 6.2.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{1}{\ln (1) + C} = 1$

ステップ 6.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{1}{0 + C} = 1$

ステップ 6.2.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$\frac{1}{C} = 1$

ステップ 6.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$C, 1$

ステップ 6.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$C$

ステップ 6.4

$\frac{1}{C} = 1$ の各項に $C$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\frac{1}{C} = 1$ の各項に $C$ を掛けます。

$\frac{1}{C} C = 1 C$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$C$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{C} C = 1 C$

ステップ 6.4.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = 1 C$

ステップ 6.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

$C$ に $1$ をかけます。

$1 = C$

ステップ 6.5

方程式を $C = 1$ として書き換えます。

$C = 1$

ステップ 7

$1$ を $y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$1$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + 1}$

微分積分 例

微分積分例