微分積分例

$\frac{d y}{d t} = \sin (t) + 1$ , $y (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (\sin (t) + 1) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \sin (t) + 1 d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \sin (t) + 1 d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int \sin (t) d t + \int d t$

ステップ 2.3.2

$\sin (t)$ の $t$ に関する積分は $- \cos (t)$ です。

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + \int d t$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + t + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + C_{1} = - \cos (t) + t + C_{4}$

ステップ 2.3.5

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = t - \cos (t) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = t - \cos (t) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = t - \cos (t) + K$ の $\frac{π}{3}$ を $t$ に、 $\frac{1}{2}$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} = \frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$ として書き換えます。

$\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{π}{3} - \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\frac{π}{3}$ を引きます。

$- \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3}$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺に $\frac{1}{2}$ を足します。

$K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.3

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{1 + 1}{2} + \frac{- π}{3}$

ステップ 4.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$K = \frac{2}{2} + \frac{- π}{3}$

ステップ 4.3.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$2$ を $2$ で割ります。

$K = 1 + \frac{- π}{3}$

ステップ 4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$K = 1 - \frac{π}{3}$

ステップ 5

$1 - \frac{π}{3}$ を $y = t - \cos (t) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$1 - \frac{π}{3}$ を $K$ に代入します。

$y = t - \cos (t) + 1 - \frac{π}{3}$

微分積分 例

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