微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$ , $y (2) = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $9 y^{2} - 4$ を掛けます。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

$9 y^{2}$ を ${(3 y)}^{2}$ に書き換えます。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 4}$

ステップ 1.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 2^{2}}$

ステップ 1.2.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 y$ であり、 $b = 2$ です。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 1.2.2

$9 y^{2} - 4$ に $\frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$ をかけます。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(9 y^{2} - 4) (6 x^{2})}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 1.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$9 y^{2}$ を ${(3 y)}^{2}$ に書き換えます。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 4) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 1.2.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 1.2.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 y$ であり、 $b = 2$ です。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 1.2.4

$3 y + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.1

共通因数を約分します。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

ステップ 1.2.4.2

式を書き換えます。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

ステップ 1.2.5

$3 y - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

ステップ 1.2.5.2

$6 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(9 y^{2} - 4) d y = 6 x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 9 y^{2} - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 9 y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

$9$ は $y$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

ステップ 2.2.4

定数の法則を当てはめます。

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$9 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

ステップ 2.2.5.2

簡約します。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ を $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ に書き換えます。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$6$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ の $2$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 = 2 \cdot 2^{3} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ として書き換えます。

$2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

指数を足して $2$ に $2^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.1

$2$ に $2^{3}$ をかけます。

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ステップ 4.2.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$2^{1} \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

ステップ 4.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{1 + 3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

ステップ 4.2.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$2^{4} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

ステップ 4.2.2

$2$ を $4$ 乗します。

$16 + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

ステップ 4.3

$3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$16 + K = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0$

ステップ 4.3.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$16 + K = 0 - 4 \cdot 0$

ステップ 4.3.1.3

$- 4$ に $0$ をかけます。

$16 + K = 0 + 0$

ステップ 4.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$16 + K = 0$

ステップ 4.4

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$K = - 16$

ステップ 5

$- 16$ を $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 16$ を $K$ に代入します。

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} - 16$

微分積分 例

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