微分積分例

$3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 3 (x^{2} + y^{2})$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 (x^{2} + y^{2})]$

ステップ 1.2

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 (x^{2} + y^{2})$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 1.3

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 1.4

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 1.5

$0$ と $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y)$

ステップ 1.7

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y$

ステップ 2

$N (x, y) = x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} + 6 y] + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3

$3 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.5

$6 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \cdot 1$

ステップ 2.9

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

ステップ 2.9.2

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$6 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$6 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{M}$

ステップ 4.3

$3 (x^{2} + y^{2})$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$3 (x^{2} + y^{2})$ を $M$ に代入します。

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 4.3.2

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$- 1$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (- 3 x^{2}) + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 4.3.2.2

$- 1$ を $3 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 4.3.2.3

$- 1$ を $- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 4.3.2.4

$- 1$ を $6 y$ で因数分解します。

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 4.3.2.5

$- 1$ を $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y)$ で因数分解します。

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 4.3.2.6

$- 1$ を $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)$ で因数分解します。

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 4.3.2.7

$- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ を $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 4.3.2.8

$3$ を $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 4.3.2.9

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 4.3.2.9.2

式を書き換えます。

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 4.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$- 2 y$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} + 0)}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 4.3.3.2

$- x^{2} - y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 4.3.4

$- x^{2} - y^{2}$ と $x^{2} + y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 4.3.4.2

$- 1$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - (y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 4.3.4.3

$- 1$ を $- (x^{2}) - (y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (- (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 4.3.4.4

$- (x^{2} + y^{2})$ を $- 1 (x^{2} + y^{2})$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 4.3.4.5

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 4.3.4.6

$- 1 \cdot (- 1)$ を $1$ で割ります。

$- 1 \cdot (- 1)$

ステップ 4.3.5

$- 1 \cdot (- 1)$ を $- (- 1)$ に書き換えます。

$- (- 1)$

ステップ 4.3.6

$3 (x^{2} + y^{2})$ を $M$ に代入します。

$1$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{y + C}$

ステップ 5.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{y} + C$

ステップ 6

$3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{y}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$3 (x^{2} + y^{2})$ に $e^{y}$ をかけます。

$3 (x^{2} + y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(3 x^{2} + 3 y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

ステップ 6.4

$x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ に $e^{y}$ をかけます。

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) e^{y} d y = 0$

ステップ 6.5

分配則を当てはめます。

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x \cdot x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

ステップ 6.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1} x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

ステップ 6.6.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1 + 2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

ステップ 6.6.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

ステップ 6.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

ステップ 6.6.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + 6 x y) e^{y} d y = 0$

ステップ 6.7

分配則を当てはめます。

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

ステップ 8.2

$3 e^{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $3 e^{y}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 3 e^{y} \int x^{2} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

ステップ 8.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

ステップ 8.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

ステップ 8.5

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

ステップ 8.6

簡約します。

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11.2

総和則では、 $e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$x^{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $e^{y} x^{3}$ の微分係数は $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ です。

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{3} e^{y} + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11.4

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x]$ の値を求めます。

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ステップ 11.4.1

$3 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y^{2} e^{y} x$ の微分係数は $3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}]$ です。

$x^{3} e^{y} + 3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11.4.2

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = e^{y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11.4.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11.4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.1

分配則を当てはめます。

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y}) + 3 x (e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x e^{y} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 11.6.4

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $x^{3} e^{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y}$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $3 y^{2} x e^{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y}$

ステップ 12.1.3

方程式の両辺から $6 x y e^{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

ステップ 12.1.4

$x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.1

$x^{3} e^{y}$ から $x^{3} e^{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} + 0 - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

ステップ 12.1.4.2

$3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

ステップ 12.1.4.3

$3 x y^{2} e^{y}$ と $- 3 y^{2} x e^{y}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} = 3 e^{y} y^{2} x + 6 x y e^{y} - 3 e^{y} y^{2} x - 6 x y e^{y}$

ステップ 12.1.4.4

$3 e^{y} y^{2} x$ から $3 e^{y} y^{2} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} + 0 - 6 x y e^{y}$

ステップ 12.1.4.5

$6 x y e^{y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} - 6 x y e^{y}$

ステップ 12.1.4.6

$6 x y e^{y}$ から $6 x y e^{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 13

$0$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 0 d y$

ステップ 13.3

$0$ の $y$ に関する積分は $0$ です。

$g (y) = 0 + C$

ステップ 13.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (y) = C$

ステップ 14

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

ステップ 15

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + C$

微分積分 例

微分積分例