微分積分例

$(4 t e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

ステップ 1

両辺に $\frac{1}{e^{2 x} y}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{2 x} y} (4 t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 \frac{1}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.2

$4$ と $\frac{1}{e^{2 x} y}$ をまとめます。

$\frac{4}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.3

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} y$ で因数分解します。

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.3.2

$e^{2 x}$ を $t e^{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{4}{e^{2 x} y} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.3.4

式を書き換えます。

$\frac{4}{y} t d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.4

$\frac{4}{y}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.5

$y e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

$y e^{2 x}$ を $e^{2 x} y$ で因数分解します。

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} (1)} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} \cdot 1} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 2.5.3

式を書き換えます。

$\frac{4 t}{y} d y = 1 d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{4 t}{y} d y = \int d x$

ステップ 3.2

左辺を積分します。

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ステップ 3.2.1

$4 t$ は $y$ に対して定数なので、 $4 t$ を積分の外に移動させます。

$4 t \int \frac{1}{y} d y = \int d x$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$4 t (\ln (| y |) + C_{1}) = \int d x$

ステップ 3.2.3

簡約します。

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

ステップ 3.3

定数の法則を当てはめます。

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$4 t \ln (| y |) = x + C$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

$4 t \ln (| y |) = x + C$ の各項を $4 t$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1.1

$4 t \ln (| y |) = x + C$ の各項を $4 t$ で割ります。

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

ステップ 4.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

ステップ 4.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

ステップ 4.1.2.2

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

ステップ 4.1.2.2.2

$\ln (| y |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

ステップ 4.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

ステップ 4.3

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}} = | y |$

ステップ 4.4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.4.1

方程式を $| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$ として書き換えます。

$| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

ステップ 4.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

微分積分 例

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