微分積分例

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 1$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

ステップ 2

$N (x, y) = x - y + 6$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y + 6]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x - y + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 2.4

$- y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 2.5

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

ステップ 2.6

項をまとめます。

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ステップ 2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

ステップ 2.6.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$0 = 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$0 = 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{1 + 0}{M}$

ステップ 4.3

$1$ を $M$ に代入します。

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ステップ 4.3.1

$1$ を $M$ に代入します。

$\frac{1 + 0}{1}$

ステップ 4.3.2

$1 + 0$ を $1$ で割ります。

$1 + 0$

ステップ 4.3.3

$1$ を $M$ に代入します。

$1$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{y + C}$

ステップ 5.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{y} + C$

ステップ 6

$1$ に $e^{y}$ をかけます。

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = e^{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = e^{y} x + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

ステップ 11.2

総和則では、 $e^{y} x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $e^{y} x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

ステップ 11.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

ステップ 11.5

簡約します。

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ステップ 11.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

ステップ 11.5.2

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $x e^{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$

ステップ 12.1.2

$x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.2.1

$x e^{y}$ から $x e^{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y} + 0$

ステップ 12.1.2.2

$- y e^{y} + 6 e^{y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$

ステップ 13

$- y e^{y} + 6 e^{y}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

ステップ 13.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (y) = \int - y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

ステップ 13.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - \int y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

ステップ 13.5

$u = y$ と $d v = e^{y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (y) = - (y e^{y} - \int e^{y} d y) + \int 6 e^{y} d y$

ステップ 13.6

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + \int 6 e^{y} d y$

ステップ 13.7

$6$ は $y$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 \int e^{y} d y$

ステップ 13.8

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 (e^{y} + C)$

ステップ 13.9

簡約します。

$g (y) = - y e^{y} + e^{y} + 6 e^{y} + C$

ステップ 13.10

$e^{y}$ と $6 e^{y}$ をたし算します。

$g (y) = - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x e^{y} - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

微分積分 例

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