微分積分例

$(1 + x^{3}) d y = 3 x^{2} (y d) x$

ステップ 1

両辺に $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ を掛けます。

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$1 + x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$1 + x^{3}$ を $(1 + x^{3}) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

ステップ 2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

ステップ 2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

ステップ 2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1^{3} + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

ステップ 2.3.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

ステップ 2.3.3.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

ステップ 2.4

$3$ と $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$ をまとめます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

ステップ 2.5

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$y$ を $(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (x^{2} y) d x$

ステップ 2.5.2

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

ステップ 2.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

ステップ 2.5.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} x^{2} d x$

ステップ 2.6

$\frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

ステップ 3.3.2

$u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$(1 + x) (1 - x + x^{2})$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

ステップ 3.3.2.1.2

$f (x) = 1 + x$ および $g (x) = 1 - x + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 3.3.2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

総和則では、 $1 - x + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 3.3.2.1.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 3.3.2.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 3.3.2.1.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 3.3.2.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 3.3.2.1.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 3.3.2.1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 3.3.2.1.3.8

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.2.1.3.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.2.1.3.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2.1.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

ステップ 3.3.2.1.3.12

$1 - x + x^{2}$ に $1$ をかけます。

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.4

$2$ に $1$ をかけます。

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.5

$x$ を $1$ 乗します。

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.9

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.10

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.11

$x + 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.12

$x$ から $x$ を引きます。

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.13

$2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$2 x^{2} + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4.4.14

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 3.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

ステップ 3.3.3.2

$3$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

ステップ 3.3.4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 3.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 3.3.5.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 3.3.5.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 3.3.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 3.3.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 3.3.7

$u$ のすべての発生を $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

ステップ 4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) = C$

ステップ 4.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

ステップ 4.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})} = e^{C}$

ステップ 4.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$

ステップ 4.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

方程式を $\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$

ステップ 4.5.2

両辺に $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ を掛けます。

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

ステップ 4.5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.1.1

$| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

ステップ 4.5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$| y | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

ステップ 4.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.2.1

$e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.2.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ を展開します。

$| y | = e^{C} | 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$| y | = e^{C} | 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$| y | = e^{C} | 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.6.1

$x$ を移動させます。

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.7

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.7.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.7.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.1.7.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.2

$1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.2.1.2.2.1

$- x$ と $x$ をたし算します。

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.2.2

$1 + x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.2.3

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$| y | = e^{C} | 1 + 0 + x^{3} |$

ステップ 4.5.3.2.1.2.2.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$| y | = e^{C} | 1 + x^{3} |$

ステップ 4.5.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.4.1

$e^{C} | 1 + x^{3} |$ の因数を並べ替えます。

$| y | = | 1 + x^{3} | e^{C}$

ステップ 4.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm | 1 + x^{3} | e^{C}$

ステップ 5

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm | 1 + x^{3} | C$

ステップ 5.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C | 1 + x^{3} |$

微分積分 例

微分積分例