微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = g (x)$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = y$

ステップ 2

変数を分けます。

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ステップ 2.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 2.1.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1.1.1

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) y = y$

ステップ 2.1.1.1.1.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cot (x)) y = y$

ステップ 2.1.1.1.1.3

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} - (2 \cot (x)) y = y$

ステップ 2.1.1.1.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y = y$

ステップ 2.1.1.1.2

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - 2 y \cot (x) = y$

ステップ 2.1.2

方程式の両辺に $2 y \cot (x)$ を足します。

$\frac{d y}{d x} = y + 2 y \cot (x)$

ステップ 2.2

$y$ を $y + 2 y \cot (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + 2 y \cot (x)$

ステップ 2.2.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + 2 y \cot (x)$

ステップ 2.2.3

$y$ を $2 y \cot (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$

ステップ 2.2.4

$y$ を $y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = y (1 + 2 \cot (x))$

ステップ 2.3

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

ステップ 2.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

ステップ 2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 \cot (x)$

ステップ 2.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = (1 + 2 \cot (x)) d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int 2 \cot (x) d x$

ステップ 3.3.2

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 \cot (x) d x$

ステップ 3.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int \cot (x) d x$

ステップ 3.3.4

$\cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sin (x) |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{3})$

ステップ 3.3.5

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{4}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = x + C$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ を簡約します。

$\ln (| y |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = x + C$

ステップ 4.2.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| \sin (x) |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| y |) - \ln (\sin^{2} (x)) = x + C$

ステップ 4.2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

ステップ 4.2.1.3

$1$ を掛けます。

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = x + C$

ステップ 4.2.1.4

分数を分解します。

$\ln (\frac{| y |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

ステップ 4.2.1.5

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を $\csc^{2} (x)$ に変換します。

$\ln (\frac{| y |}{1} \csc^{2} (x)) = x + C$

ステップ 4.2.1.6

$| y |$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$

ステップ 4.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y | \csc^{2} (x))} = e^{x + C}$

ステップ 4.4

対数の定義を利用して $\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x + C} = | y | \csc^{2} (x)$

ステップ 4.5

$y$ について解きます。

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ステップ 4.5.1

方程式を $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ として書き換えます。

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$

ステップ 4.5.2

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ の各項を $\csc^{2} (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ の各項を $\csc^{2} (x)$ で割ります。

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 4.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.2.1

$\csc^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 4.5.2.2.1.2

$| y |$ を $1$ で割ります。

$| y | = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 4.5.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 5

定数項をまとめます。

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ステップ 5.1

$e^{x + C}$ を $e^{x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 5.2

$e^{x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 5.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C \frac{C e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

微分積分 例

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