微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x y)}^{2}}$ , $y (1) = 3$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

積の法則を $x y$ に当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} y^{2}}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 1.3

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

まとめる。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{x^{2} y^{2}}$

ステップ 1.4.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$y^{2}$ を $x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.4.3

$1$ に $1$ をかけます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$- x^{- 1} + C_{2}$ を $- \frac{1}{x} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{x} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$3 (- \frac{1}{x} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.2

$3 (- \frac{1}{x})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y^{3} = - 3 \frac{1}{x} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.2.2

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y^{3} = \frac{- 3}{x} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y^{3} = - \frac{3}{x} + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$3$ を $- \frac{3}{x} + 3 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$3$ を $- \frac{3}{x}$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

ステップ 3.4.1.2

$3$ を $3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

ステップ 3.4.1.3

$3$ を $3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + K)}$

ステップ 3.4.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + \frac{K x}{x})}$

ステップ 3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K x}{x}}$

ステップ 3.4.4

$3$ と $\frac{- 1 + K x}{x}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$

ステップ 3.4.5

$\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$ を $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 3.4.6

$\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 3.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.7.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 3.4.7.2

$\sqrt[3]{x}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 3.4.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.7.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

ステップ 3.4.7.5

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.4.7.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.7.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.7.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.7.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

ステップ 3.4.7.5.5

簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

ステップ 3.4.8

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

ステップ 3.4.9

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$

ステップ 3.4.10

$\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$

ステップ 4

初期条件を利用し、 $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ の $1$ を $x$ に、 $3$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$3 = \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 1^{2} (- 1 + K \cdot 1)}}{1}$

ステップ 5

$K$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$ として書き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$

ステップ 5.2

$\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))} = 3$

ステップ 5.3

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}^{3} = 3^{3}$

ステップ 5.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ を ${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1.1

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

${(3 \cdot (1 (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.1.3

$- 1 + K \cdot 1$ に $1$ をかけます。

${(3 \cdot (- 1 + K \cdot 1))}^{1} = 3^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.1.4

$K$ に $1$ をかけます。

${(3 \cdot (- 1 + K))}^{1} = 3^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

${(3 \cdot - 1 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

${(- 3 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

ステップ 5.3.2.2.1.3.2

簡約します。

$- 3 + 3 K = 3^{3}$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

$3$ を $3$ 乗します。

$- 3 + 3 K = 27$

ステップ 5.3.3

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$3 K = 27 + 3$

ステップ 5.3.3.1.2

$27$ と $3$ をたし算します。

$3 K = 30$

ステップ 5.3.3.2

$3 K = 30$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$3 K = 30$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

ステップ 5.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

ステップ 5.3.3.2.2.1.2

$K$ を $1$ で割ります。

$K = \frac{30}{3}$

ステップ 5.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.3.1

$30$ を $3$ で割ります。

$K = 10$

ステップ 6

$10$ を $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$10$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + 10 x)}}{x}$

微分積分 例

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