微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ を分解し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数 $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$2$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.2.1

$2$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.2.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.3

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

ステップ 1.1.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.2.1

$y$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

ステップ 1.1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

ステップ 1.1.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y}{2 x}$

ステップ 1.1.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} - \frac{y}{2 x}$

ステップ 1.2

微分方程式を $f (\frac{y}{x})$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{3 x}{y}$ から $\frac{x}{y}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$\frac{x}{y}$ を $\frac{3 x}{y}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot 3 - \frac{y}{2 x}$

ステップ 1.2.1.2

$\frac{x}{y}$ と $3$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{x}{y} - \frac{y}{2 x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{x}{y}$ を ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{2 x}$

ステップ 1.3

$\frac{y}{2 x}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y}{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 1.3.2

$\frac{y}{x}$ と $\frac{1}{2}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x})$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot \frac{1}{V} - \frac{1}{2} V$

ステップ 6.1.1.1.2

$3$ と $\frac{1}{V}$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{1}{2} V$

ステップ 6.1.1.1.3

$V$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{V}{2}$

ステップ 6.1.1.2

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2

$- V$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.3.1

$- V$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- V - V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1

$V$ を $- V - V \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

$V$ を $- V$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

$V$ を $- V \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

$V$ を $V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 2)}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.3

$- 1$ から $2$ を引きます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 3}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.2

$- 3$ を $V$ の左に移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- 3 \cdot V}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{3 V}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.4.1

$\frac{3}{V}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.2

$- \frac{3 V}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{V}{V}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $V \cdot 2$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.4.3.1

$\frac{3}{V}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.3.2

$\frac{3 V}{2}$ に $\frac{V}{V}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.3.3

$V \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{2 V} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2 - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.4.5.1

$3$ を $3 \cdot 2 - 3 V \cdot V$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.4.5.1.1

$3$ を $3 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.5.1.2

$3$ を $- 3 V \cdot V$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) + 3 (- V \cdot V)}{2 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.5.1.3

$3$ を $3 (2) + 3 (- V \cdot V)$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V \cdot V)}{2 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.5.2

指数を足して $V$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.4.5.2.1

$V$ を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - (V \cdot V))}{2 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.5.2.2

$V$ に $V$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.6

まとめる。

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

ステップ 6.1.1.3.3.7

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V x}$

ステップ 6.1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.3

両辺に $\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})}$ を掛けます。

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} (\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

まとめる。

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \cdot \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

ステップ 6.1.4.2

まとめる。

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

ステップ 6.1.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

ステップ 6.1.4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

ステップ 6.1.4.4

$V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

ステップ 6.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) (x)}$

ステップ 6.1.4.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.5.2

式を書き換えます。

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) (x)}$

ステップ 6.1.4.6

$2 - V^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.6.2

式を書き換えます。

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$\frac{2}{3}$ は $V$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} \int \frac{V}{2 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$u = 2 - V^{2}$ とします。次に $d u = - 2 V d V$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = V d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$u = 2 - V^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

$2 - V^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [2 - V^{2}]$

ステップ 6.2.2.2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.2.1

総和則では、 $2 - V^{2}$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ です。

$\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

ステップ 6.2.2.2.1.2.2

$2$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

ステップ 6.2.2.2.1.3

$\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.3.1

$- 1$ は $V$ に対して定数なので、 $V$ に対する $- V^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

ステップ 6.2.2.2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 V)$

ステップ 6.2.2.2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 V$

ステップ 6.2.2.2.1.4

$0$ から $2 V$ を引きます。

$- 2 V$

ステップ 6.2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.6.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6.2

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.6.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.6.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.8

簡約します。

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.9

$u$ のすべての発生を $2 - V^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の両辺に $- 3$ を掛けます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1

$\ln (| 2 - V^{2} |)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- 3 (- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 3 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$- - \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.3.2

$\ln (| 2 - V^{2} |)$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

ステップ 6.3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

ステップ 6.3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1

$\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (| 2 - V^{2} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

ステップ 6.3.4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

ステップ 6.3.5

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

ステップ 6.3.6

対数の定義を利用して $\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 3 C} = | 2 - V^{2} | {| x |}^{3}$

ステップ 6.3.7

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.1

方程式を $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ として書き換えます。

$| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

ステップ 6.3.7.2

$| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ の各項を ${| x |}^{3}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.2.1

$| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ の各項を ${| x |}^{3}$ で割ります。

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

ステップ 6.3.7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.2.2.1

${| x |}^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

ステップ 6.3.7.2.2.1.2

$| 2 - V^{2} |$ を $1$ で割ります。

$| 2 - V^{2} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

ステップ 6.3.7.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$2 - V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

ステップ 6.3.7.4

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$

ステップ 6.3.7.5

$- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.5.1

$- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 6.3.7.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 6.3.7.5.2.2

$V^{2}$ を $1$ で割ります。

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 6.3.7.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.5.3.1.1

$\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 6.3.7.5.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ を $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ に書き換えます。

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 6.3.7.5.3.1.3

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2$

ステップ 6.3.7.6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2}$

ステップ 6.4

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

積分定数を簡約します。

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 2}$

ステップ 6.4.2

定数を正または負でまとめます。

$V = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$(\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

$C$ と $\frac{1}{{| x |}^{3}}$ をまとめます。

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + 2}) x$

ステップ 8.2.2.1.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ を掛けます。

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + \frac{2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

ステップ 8.2.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$y = (\pm \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

ステップ 8.2.2.1.4

$\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ を ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.4.1

$- C + 2 {| x |}^{3}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{3}}}) x$

ステップ 8.2.2.1.4.2

${| x |}^{3}$ から完全累乗 ${| x |}^{2}$ を因数分解します。

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}}) x$

ステップ 8.2.2.1.4.3

分数 $\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}$ を並べ替えます。

$y = (\pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

ステップ 8.2.2.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

ステップ 8.2.2.1.6

$\sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}$ を $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}$ に書き換えます。

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}) x$

ステップ 8.2.2.1.7

まとめる。

$y = (\pm \frac{1 \sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

ステップ 8.2.2.1.8

$\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

ステップ 8.2.2.1.9

$\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ に $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ をかけます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}) x$

ステップ 8.2.2.1.10

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.10.1

$\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ に $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ をかけます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}) x$

ステップ 8.2.2.1.10.2

$\sqrt{| x |}$ を移動させます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}) x$

ステップ 8.2.2.1.10.3

$\sqrt{| x |}$ を $1$ 乗します。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}) x$

ステップ 8.2.2.1.10.4

$\sqrt{| x |}$ を $1$ 乗します。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}) x$

ステップ 8.2.2.1.10.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}) x$

ステップ 8.2.2.1.10.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}) x$

ステップ 8.2.2.1.10.7

${\sqrt{| x |}}^{2}$ を $| x |$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.10.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{| x |}$ を ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) x$

ステップ 8.2.2.1.10.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) x$

ステップ 8.2.2.1.10.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

ステップ 8.2.2.1.10.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.10.7.4.1

共通因数を約分します。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

ステップ 8.2.2.1.10.7.4.2

式を書き換えます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}) x$

ステップ 8.2.2.1.10.7.5

簡約します。

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}) x$

ステップ 8.2.2.1.11

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x | | x |}) x$

ステップ 8.2.2.1.12

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x \cdot x |}) x$

ステップ 8.2.2.1.13

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.13.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x^{2} |}) x$

ステップ 8.2.2.1.13.2

絶対値から非負の項を削除します。

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$

ステップ 8.2.2.1.14

$(\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$ の因数を並べ替えます。

$y = (\pm \frac{\sqrt{| x | (- C + 2 {| x |}^{3})}}{x^{2}}) x$

微分積分 例

微分積分例