微分積分例

$\frac{d y}{d x} + y \sec (x) = \tan (x)$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$y$ を $y \sec (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (\sec (x)) = \tan (x)$

ステップ 1.2

$y$ と $\sec (x)$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \sec (x) y = \tan (x)$

ステップ 2

$P (x) = \sec (x)$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \sec (x) d x}$

ステップ 2.2

$\sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ です。

$e^{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (\sec (x) + \tan (x))}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\sec (x) + \tan (x)$

ステップ 3

各項に積分因数 $\sec (x) + \tan (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\sec (x) + \tan (x)$ を掛けます。

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\sec (x) y) + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

ステップ 3.2.3

$\sec (x) (\sec (x) y)$ を掛けます。

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ステップ 3.2.3.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{1} (x) \sec (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

ステップ 3.2.3.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

ステップ 3.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + {\sec (x)}^{1 + 1} y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

ステップ 3.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \tan (x)$

ステップ 3.4

$\tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x)$

ステップ 3.4.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)$

ステップ 3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1}$

ステップ 3.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

ステップ 3.5

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + y \sec^{2} (x) + y \tan (x) \sec (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

ステップ 7.2

$\sec (x)$ の微分係数が $\sec (x) \tan (x)$ なので、 $\sec (x) \tan (x)$ の積分は $\sec (x)$ です。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int \tan^{2} (x) d x$

ステップ 7.3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

ステップ 7.4

単一積分を複数積分に分割します。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 7.5

定数の法則を当てはめます。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 7.6

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \tan (x) + C$

ステップ 7.7

簡約します。

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$

ステップ 8

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ の各項を $\sec (x) + \tan (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ の各項を $\sec (x) + \tan (x)$ で割ります。

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\sec (x) + \tan (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 8.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\sec (x) - x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 8.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 8.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x) + C}{\sec (x) + \tan (x)}$

微分積分 例

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