微分積分例

$\frac{d Q}{d t} + \frac{1}{20} Q = 0$

ステップ 1

$P (t) = \frac{1}{20}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{20} d t}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{\frac{1}{20} t + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{1}{20} t}$

ステップ 1.4

$\frac{1}{20}$ と $t$ をまとめます。

$e^{\frac{t}{20}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{\frac{t}{20}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{\frac{t}{20}}$ を掛けます。

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + e^{\frac{t}{20}} (\frac{1}{20} Q) = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{1}{20} e^{\frac{t}{20}} Q = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{20}$ と $e^{\frac{t}{20}}$ をまとめます。

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}}}{20} Q = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

ステップ 2.2.3

$\frac{e^{\frac{t}{20}}}{20}$ と $Q$ をまとめます。

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{20} = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

ステップ 2.3

$e^{\frac{t}{20}}$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{20} = 0$

ステップ 2.4

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{20} = 0$ の因数を並べ替えます。

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{Q e^{\frac{t}{20}}}{20} = 0$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{20}} Q] = 0$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{20}} Q] d t = \int 0 d t$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{\frac{t}{20}} Q = \int 0 d t$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$0$ の $t$ に関する積分は $0$ です。

$e^{\frac{t}{20}} Q = 0 + C$

ステップ 6.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{\frac{t}{20}} Q = C$

ステップ 7

$e^{\frac{t}{20}} Q = C$ の各項を $e^{\frac{t}{20}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{\frac{t}{20}} Q = C$ の各項を $e^{\frac{t}{20}}$ で割ります。

$\frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{e^{\frac{t}{20}}} = \frac{C}{e^{\frac{t}{20}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{\frac{t}{20}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{e^{\frac{t}{20}}} = \frac{C}{e^{\frac{t}{20}}}$

ステップ 7.2.1.2

$Q$ を $1$ で割ります。

$Q = \frac{C}{e^{\frac{t}{20}}}$

微分積分 例

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