微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$y^{2}$ を $y^{3} - y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

$y^{2}$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y - y^{2}} = 0$

ステップ 1.1.1.1.2

$y^{2}$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y + y^{2} \cdot - 1} = 0$

ステップ 1.1.1.1.3

$y^{2}$ を $y^{2} y + y^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(y - 1) y^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$\frac{d y}{d x}$ と $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$(y - 1) y^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{y^{2} (y - 1)} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2}) + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} \cdot - 1) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.1.5.2

$- 1$ を $\frac{d y}{d x}$ の左に移動させます。

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - 1 \cdot \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.1.5.3

$- 1 \frac{d y}{d x}$ を $- \frac{d y}{d x}$ に書き換えます。

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.1.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{d y}{d x} y \cdot y^{2} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.1.5.5

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.5.1

$y^{2}$ を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.1.5.5.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

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ステップ 1.1.1.5.5.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y^{1}) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.1.5.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2 + 1} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.1.5.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

ステップ 1.1.2

分子を0に等しくします。

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25 = 0$

ステップ 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ について方程式を解きます。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.3.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + 25 = - x^{2}$

ステップ 1.1.3.1.2

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x} y^{2}$ を $\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

$\frac{d y}{d x} y^{2}$ を $\frac{d y}{d x} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} y^{2} y - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

ステップ 1.1.3.2.2

$\frac{d y}{d x} y^{2}$ を $- \frac{d y}{d x} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1 = - x^{2} - 25$

ステップ 1.1.3.2.3

$\frac{d y}{d x} y^{2}$ を $\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$

ステップ 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ の各項を $y^{2} (y - 1)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ の各項を $y^{2} (y - 1)$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.1.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.2.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.1.3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.1.3.3.2.2

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.1.3.3.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.1.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.1.3.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ を $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1.1

$- 1$ を $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.2.1.2

$- 1$ を $- \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

ステップ 1.2.1.3

$- 1$ を $- (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

ステップ 1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.3

両辺に $y^{2} (y - 1)$ を掛けます。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - y^{2} (y - 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.4.2

$y^{2} (y - 1)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$y^{2} (y - 1)$ を $- y^{2} (y - 1)$ で因数分解します。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) \cdot - 1 \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 25)$

ステップ 1.4.3

分配則を当てはめます。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 25$

ステップ 1.4.4

$- 1$ に $25$ をかけます。

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 25$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$y^{2} (y - 1) d y = (- x^{2} - 25) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} (y - 1) d y = \int - x^{2} - 25 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$y^{2} (y - 1)$ を掛けます。

$\int y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\int y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

ステップ 2.2.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int y^{3} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

ステップ 2.2.2.2

$- 1$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$\int y^{3} - 1 \cdot y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

ステップ 2.2.2.3

$- 1 y^{2}$ を $- y^{2}$ に書き換えます。

$\int y^{3} - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

ステップ 2.2.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - \int y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

ステップ 2.2.6

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int - x^{2} - 25 d x$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} - 25 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} d x + \int - 25 d x$

ステップ 2.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \int x^{2} d x + \int - 25 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int - 25 d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + K$

微分積分 例

微分積分例