微分積分例

$\frac{d y}{d x} = {(64 x y)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 1.1.1.1

積の法則を $64 x y$ に当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = {(64 x)}^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.1.1.2

積の法則を $64 x$ に当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = 64^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.1.2

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d y}{d x} = 4^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = 4^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 4^{1} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.1.5

指数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.3.2

$4$ と $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.3.3

$y^{\frac{1}{3}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1

$y^{\frac{1}{3}}$ を $x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int y^{\frac{- 1}{3}} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

ステップ 2.2.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int y^{- \frac{1}{3}} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- \frac{1}{3}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}$ です。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 4 \int x^{\frac{1}{3}} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2})$ を $4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$4$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{12}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$12$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.3.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 3 x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} = 3 x^{\frac{4}{3}} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ と $y^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

まとめる。

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.4

式を書き換えます。

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.5

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.6

$y^{\frac{2}{3}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{3} K$

ステップ 3.2.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.2.1

$3$ を $3 x^{\frac{4}{3}}$ で因数分解します。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 (x^{\frac{4}{3}})) + \frac{2}{3} K$

ステップ 3.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{3} K$

ステップ 3.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$y^{\frac{2}{3}} = 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3} K$

ステップ 3.2.2.1.3

$\frac{2}{3}$ と $K$ をまとめます。

$y^{\frac{2}{3}} = 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3}$

ステップ 3.3

方程式の両辺を $\frac{3}{2}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4.1.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{1} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4.1.2

簡約します。

$y = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + K)}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + K)}^{\frac{3}{2}}$

微分積分 例

微分積分例