微分積分例

$\frac{d x}{d y} = \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y^{2} d y$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\int \sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}} d x = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sin (t)$ とします。次に $d x = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.3.1.2

${(\cos^{2} (t))}^{1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.3.1.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.3.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \cos (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.3.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.3.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.3.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \cos^{2} (t) d t = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.4

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.6

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.7

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.8

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 2.2.8.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2.2.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.2.8.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.2.8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.9

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.11

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.12

簡約します。

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.13

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.1

$t$ のすべての発生を $\arcsin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.13.2

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.13.3

$t$ のすべての発生を $\arcsin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C_{3} = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.14.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 \arcsin (x))$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C_{3} = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.14.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.14.3

$\frac{1}{2}$ と $\arcsin (x)$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.14.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.14.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.14.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C_{3} = \int y^{2} d y$

ステップ 2.2.15

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) = \frac{1}{3} y^{3} + K$

微分積分 例

微分積分例