微分積分例

$x \frac{d y}{d x} - y = \frac{y}{x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

ステップ 1.1.2

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x \cdot x} + \frac{y}{x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x} + \frac{y}{x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x^{1}} + \frac{y}{x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1 + 1}} + \frac{y}{x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

$\frac{y}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 1.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x \cdot x}$

ステップ 1.2.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x}$

ステップ 1.2.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

ステップ 1.2.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{2}}$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + y x}{x^{2}}$

ステップ 1.2.4

$y$ を $y + y x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.4.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} + y x}{x^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y x}{x^{2}}$

ステップ 1.2.4.3

$y$ を $y x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (x)}{x^{2}}$

ステップ 1.2.4.4

$y$ を $y \cdot 1 + y (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 + x)}{x^{2}}$

ステップ 1.2.4.5

$y$ に $1 + x$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + x)}{x^{2}}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x^{2}}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

ステップ 1.5

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.2

$(1 + x) x^{- 2}$ を掛けます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.2

指数を足して $x$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.3.2.1

$x$ に $x^{- 2}$ をかけます。

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ステップ 2.3.3.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

ステップ 2.3.3.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

ステップ 2.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int x^{- 1} d x$

ステップ 2.3.6

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

ステップ 3.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{1}{x} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$ として書き換えます。

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

ステップ 3.5.2

両辺に $| x |$ を掛けます。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

ステップ 3.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$| x |$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

ステップ 3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| y | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

ステップ 3.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.4.1

$e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$ の因数を並べ替えます。

$| y | = | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

ステップ 3.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{- \frac{1}{x} + C}$ を $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm | x | (e^{- \frac{1}{x}} e^{C})$

ステップ 4.2

$e^{- \frac{1}{x}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm | x | (e^{C} e^{- \frac{1}{x}})$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C | x | e^{- \frac{1}{x}}$

微分積分 例

微分積分例