微分積分例

$y^{2} (x + y + 1) d x + x y (x + 3 y + 2) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y^{2} (x + y + 1)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} (x + y + 1)]$

ステップ 1.2

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = x + y + 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \frac{d}{d y} [x + y + 1] + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

総和則では、 $x + y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [y]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.5

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (1 + 0) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \cdot 1 + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.6.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (x + y + 1) (2 y)$

ステップ 1.3.8

$2$ を $x + y + 1$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 \cdot (x + y + 1) y$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + (2 x + 2 y + 2 \cdot 1) y$

ステップ 1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y \cdot y + 2 \cdot 1 y$

ステップ 1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 (y^{1} y) + 2 \cdot 1 y$

ステップ 1.4.3.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 (y^{1} y^{1}) + 2 \cdot 1 y$

ステップ 1.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{1 + 1} + 2 \cdot 1 y$

ステップ 1.4.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 \cdot 1 y$

ステップ 1.4.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 y$

ステップ 1.4.3.6

$y^{2}$ と $2 y^{2}$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = x y (x + 3 y + 2)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y (x + 3 y + 2)]$

ステップ 2.2

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y (x + 3 y + 2)$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$

ステップ 2.3

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 3 y + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x \frac{d}{d x} [x + 3 y + 2] + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $x + 3 y + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.3

$3 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x (1 + 0) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x \cdot 1 + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.6.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + (x + 3 y + 2) \cdot 1)$

ステップ 2.4.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.8.1

$x + 3 y + 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (x + x + 3 y + 2)$

ステップ 2.4.8.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 3 y + 2)$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + y (3 y) + y \cdot 2$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x + y (3 y) + y \cdot 2$

ステップ 2.5.2.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 (y^{1} y) + y \cdot 2$

ステップ 2.5.2.3

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 (y^{1} y^{1}) + y \cdot 2$

ステップ 2.5.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{1 + 1} + y \cdot 2$

ステップ 2.5.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{2} + y \cdot 2$

ステップ 2.5.2.6

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 3 y^{2} + 2 y$

ステップ 2.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$3 y^{2} + 2 x y + 2 y = 3 y^{2} + 2 x y + 2 y$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y^{2} (x + y + 1) d x$

ステップ 5

$M (x, y) = y^{2} (x + y + 1)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $y^{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y^{2} \int x + y + 1 d x$

ステップ 5.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = y^{2} (\int x d x + \int y d x + \int d x)$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int y d x + \int d x)$

ステップ 5.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + y x + C + \int d x)$

ステップ 5.5

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C + y x + C + \int d x)$

ステップ 5.6

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C + y x + C + x + C)$

ステップ 5.7

簡約します。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.2

和の法則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.2.2

総和則では、 $y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = \frac{x^{2}}{2} + y x + x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} + y x + x] + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.3.2

総和則では、 $\frac{x^{2}}{2} + y x + x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]$ です。

$y^{2} (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.3.3

$\frac{x^{2}}{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$y^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.3.4

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$y^{2} (0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.3.6

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{2} (0 + x \cdot 1 + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.3.8

$x$ に $1$ をかけます。

$y^{2} (0 + x + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.3.9

$0$ と $x$ をたし算します。

$y^{2} (x + 0) + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.3.10

$x$ と $0$ をたし算します。

$y^{2} x + (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.3.11

$2$ を $\frac{x^{2}}{2} + y x + x$ の左に移動させます。

$y^{2} x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y^{2} x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} x + (2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (y x) + 2 x) y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.5.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} x + 2 \frac{x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.1

$2$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$y^{2} x + \frac{2 x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.5.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.2.1

共通因数を約分します。

$y^{2} x + \frac{2 x^{2}}{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.5.3.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} x + x^{2} y + 2 (y x) y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.5.3.3

$y$ を $1$ 乗します。

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x (y^{1} y) + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.5.3.4

$y$ を $1$ 乗します。

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x (y^{1} y^{1}) + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.5.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x y^{1 + 1} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.5.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$y^{2} x + x^{2} y + 2 x y^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.5.3.7

$y^{2} x$ と $2 x y^{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.7.1

$y^{2}$ と $x$ を並べ替えます。

$x y^{2} + 2 x y^{2} + x^{2} y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.5.3.7.2

$x y^{2}$ と $2 x y^{2}$ をたし算します。

$3 x y^{2} + x^{2} y + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 8.5.4

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$x y (x + 3 y + 2)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = 0 + 0 + x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 9.1.1.2

0を加えて簡約します。

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y (x + 3 y + 2)$

ステップ 9.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x y x + x y (3 y) + x y \cdot 2$

ステップ 9.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.4.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.4.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x \cdot x y + x y (3 y) + x y \cdot 2$

ステップ 9.1.1.4.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + x y (3 y) + x y \cdot 2$

ステップ 9.1.1.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y \cdot y + x y \cdot 2$

ステップ 9.1.1.4.3

$2$ を $x y$ の左に移動させます。

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y \cdot y + 2 \cdot (x y)$

ステップ 9.1.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.5.1

$y$ を移動させます。

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x (y \cdot y) + 2 \cdot (x y)$

ステップ 9.1.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 \cdot (x y)$

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

ステップ 9.1.2

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.2.1

方程式の両辺から $3 y^{2} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x$

ステップ 9.1.2.2

方程式の両辺から $x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y$

ステップ 9.1.2.3

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$

ステップ 9.1.2.4

$x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.4.1

$3 x y^{2}$ と $- 3 y^{2} x$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 y^{2} x + 2 x y - 3 y^{2} x - x^{2} y - 2 x y$

ステップ 9.1.2.4.2

$3 y^{2} x$ から $3 y^{2} x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 x y + 0 - x^{2} y - 2 x y$

ステップ 9.1.2.4.3

$x^{2} y + 2 x y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 x y - x^{2} y - 2 x y$

ステップ 9.1.2.4.4

$x^{2} y$ から $x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 0 - 2 x y$

ステップ 9.1.2.4.5

$2 x y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

ステップ 9.1.2.4.6

$2 x y$ から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 10

$0$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 0 d y$

ステップ 10.3

$0$ の $y$ に関する積分は $0$ です。

$g (y) = 0 + C$

ステップ 10.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (y) = C$

ステップ 11

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + y x + x) + C$

ステップ 12

各項を簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + y x + x) + C$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = y^{2} \frac{x^{2}}{2} + y^{2} (y x) + y^{2} x + C$

ステップ 12.3

簡約します。

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ステップ 12.3.1

$y^{2}$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{2} (y x) + y^{2} x + C$

ステップ 12.3.2

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 12.3.2.1

$y$ を移動させます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y \cdot y^{2} x + y^{2} x + C$

ステップ 12.3.2.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

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ステップ 12.3.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{1} y^{2} x + y^{2} x + C$

ステップ 12.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{1 + 2} x + y^{2} x + C$

ステップ 12.3.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

微分積分 例

微分積分例