微分積分例

$x (v^{2} - 1) d v + (v^{3} - 3 v) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(v^{3} - 3 v) d x$ を引きます。

$x (v^{2} - 1) d v = - (v^{3} - 3 v) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ を掛けます。

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (x (v^{2} - 1)) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{v^{3} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

ステップ 3.2

$v$ を $v^{3} - 3 v$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$v$ を $v^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{v \cdot v^{2} - 3 v} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

ステップ 3.2.2

$v$ を $- 3 v$ で因数分解します。

$\frac{1}{v \cdot v^{2} + v \cdot - 3} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

ステップ 3.2.3

$v$ を $v \cdot v^{2} + v \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{1}{v (v^{2} - 3)} (v^{2} - 1) d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

ステップ 3.3

$\frac{1}{v (v^{2} - 3)}$ に $v^{2} - 1$ をかけます。

$\frac{v^{2} - 1}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{v^{2} - 1^{2}}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

ステップ 3.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = v$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (- (v^{3} - 3 v)) d x$

ステップ 3.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

ステップ 3.6

$v^{3} - 3 v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- \frac{1}{x (v^{3} - 3 v)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x (v^{3} - 3 v)} (v^{3} - 3 v) d x$

ステップ 3.6.2

$v^{3} - 3 v$ を $x (v^{3} - 3 v)$ で因数分解します。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

ステップ 3.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{(v^{3} - 3 v) x} (v^{3} - 3 v) d x$

ステップ 3.6.4

式を書き換えます。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{(v + 1) (v - 1)}{v (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $v (v^{2} - 3)$ です。

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.1

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v (v^{2} - 3))}{v (v^{2} - 3)} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.3.2

$v^{2} - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(v + 1) (v - 1) (v^{2} - 3)}{v^{2} - 3} = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.3.2.2

$(v + 1) (v - 1)$ を $1$ で割ります。

$(v + 1) (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(v + 1) (v - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$v (v - 1) + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.4.3

分配則を当てはめます。

$v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.5.1.1

$v$ に $v$ をかけます。

$v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.5.1.2

$- 1$ を $v$ の左に移動させます。

$v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.5.1.3

$- 1 v$ を $- v$ に書き換えます。

$v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.5.1.4

$v$ に $1$ をかけます。

$v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.5.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$v^{2} - v + v - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.5.2

$- v$ と $v$ をたし算します。

$v^{2} + 0 - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.5.3

$v^{2}$ と $0$ をたし算します。

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.6.1

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$v^{2} - 1 = \frac{A (v (v^{2} - 3))}{v} + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.6.1.2

$A (v^{2} - 3)$ を $1$ で割ります。

$v^{2} - 1 = A (v^{2} - 3) + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$v^{2} - 1 = A v^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.6.3

$- 3$ を $A$ の左に移動させます。

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.6.4

$v^{2} - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + \frac{(B v + C) (v (v^{2} - 3))}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.1.6.4.2

$(B v + C) (v)$ を $1$ で割ります。

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + (B v + C) (v)$

ステップ 4.2.1.1.6.5

分配則を当てはめます。

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v \cdot v + C v$

ステップ 4.2.1.1.6.6

指数を足して $v$ に $v$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.6.6.1

$v$ を移動させます。

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B (v \cdot v) + C v$

ステップ 4.2.1.1.6.6.2

$v$ に $v$ をかけます。

$v^{2} - 1 = A v^{2} - 3 A + B v^{2} + C v$

ステップ 4.2.1.1.7

$- 3 A$ を移動させます。

$v^{2} - 1 = A v^{2} + B v^{2} + C v - 3 A$

ステップ 4.2.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

式の両辺から $v^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 4.2.1.2.2

式の両辺から $v$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 4.2.1.2.3

式の両辺から $v$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 1 = - 3 A$

ステップ 4.2.1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = - 3 A$

ステップ 4.2.1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1

方程式を $C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = - 3 A$

ステップ 4.2.1.3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.2.1

方程式を $- 3 A = - 1$ として書き換えます。

$- 3 A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

ステップ 4.2.1.3.2.2

$- 3 A = - 1$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.2.2.1

$- 3 A = - 1$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

ステップ 4.2.1.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.2.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

ステップ 4.2.1.3.2.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{- 1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

ステップ 4.2.1.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

ステップ 4.2.1.3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{3}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.3.1

$1 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{3}$ で置き換えます。

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.2.1.3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.3.2.1

括弧を削除します。

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.2.1.3.4

$1 = \frac{1}{3} + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.4.1

方程式を $\frac{1}{3} + B = 1$ として書き換えます。

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.2.1.3.4.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.4.2.1

方程式の両辺から $\frac{1}{3}$ を引きます。

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.2.1.3.4.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.2.1.3.4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.2.1.3.4.2.4

$3$ から $1$ を引きます。

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 0$

ステップ 4.2.1.3.5

連立方程式を解きます。

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3} C = 0$

ステップ 4.2.1.3.6

すべての解をまとめます。

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}, C = 0$

ステップ 4.2.1.4

$\frac{A}{v} + \frac{B v + C}{v^{2} - 3}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2}{3 v} + 0}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.1

括弧を削除します。

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{(\frac{2}{3}) v + 0}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.2.1

$\frac{2}{3}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3} + 0}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.5.2.2

$\frac{2 v}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{\frac{2 v}{3}}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3} \cdot \frac{1}{v^{2} - 3}$

ステップ 4.2.1.5.4

$\frac{2 v}{3}$ に $\frac{1}{v^{2} - 3}$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{3}}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

ステップ 4.2.1.5.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)}$

ステップ 4.2.1.5.6

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{v}$ をかけます。

$\int \frac{1}{3 v} + \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{3 v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{3}$ は $v$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{v}$ の $v$ に関する積分は $\ln (| v |)$ です。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{2 v}{3 (v^{2} - 3)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5

$\frac{2}{3}$ は $v$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{v}{v^{2} - 3} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.6

$u = v^{2} - 3$ とします。次に $d u = 2 v d v$ すると、 $\frac{1}{2} d u = v d v$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$u = v^{2} - 3$ とします。 $\frac{d u}{d v}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.1

$v^{2} - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [v^{2} - 3]$

ステップ 4.2.6.1.2

総和則では、 $v^{2} - 3$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 3]$

ステップ 4.2.6.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 v + \frac{d}{d v} [- 3]$

ステップ 4.2.6.1.4

$- 3$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$2 v + 0$

ステップ 4.2.6.1.5

$2 v$ と $0$ をたし算します。

$2 v$

ステップ 4.2.6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.9

簡約します。

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ステップ 4.2.9.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.9.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.9.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.9.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.9.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.9.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.9.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.9.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.10

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{3} (\ln (| v |) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.11

簡約します。

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.12

$u$ のすべての発生を $v^{2} - 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

ステップ 4.3.3

簡約します。

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} \ln (| v |) + \frac{1}{3} \ln (| v^{2} - 3 |) = - \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例