微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (3 - y)}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{3 - y}$ を掛けます。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{4 (3 - y)}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2

$3 - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3 - y$ を $4 (3 - y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 4}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 4}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = 3 - y$ とします。次に $d u_{1} = - d y$ すると、 $- d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 3 - y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.2.1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

分数を複数の分数に分割します。

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $3 - y$ で置き換えます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{4}{{(1 - x)}^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{2} = 1 - x$ とします。次に $d u_{2} = - d x$ すると、 $- d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u_{2} = 1 - x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.3.2.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2

${u_{2}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.3

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- {u_{2}}^{- 1}$ です。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$- 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ を $- 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ に書き換えます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 4 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$4$ と $\frac{1}{u_{2}}$ をまとめます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{4}{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \frac{4}{1 - x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- \ln (| 3 - y |) = \frac{4}{1 - x} + C$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

$\ln (| 3 - y |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x} + C}{- 1}$

ステップ 3.1.3.2

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - x}{1 - x}$ を掛けます。

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4}{1 - x} + \frac{C (1 - x)}{1 - x}}{- 1}$

ステップ 3.1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C (1 - x)}{1 - x}}{- 1}$

ステップ 3.1.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.4.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C \cdot 1 + C (- x)}{1 - x}}{- 1}$

ステップ 3.1.3.4.2

$C$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C + C (- x)}{1 - x}}{- 1}$

ステップ 3.1.3.4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\ln (| 3 - y |) = \frac{\frac{4 + C - C x}{1 - x}}{- 1}$

ステップ 3.1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.5.1

$\frac{\frac{4 + C - C x}{1 - x}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot \frac{4 + C - C x}{1 - x}$

ステップ 3.1.3.5.2

$- 1 \cdot \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ を $- \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ に書き換えます。

$\ln (| 3 - y |) = - \frac{4 + C - C x}{1 - x}$

ステップ 3.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 3 - y |)} = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

ステップ 3.3

対数の定義を利用して $\ln (| 3 - y |) = - \frac{4 + C - C x}{1 - x}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}} = | 3 - y |$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $| 3 - y | = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$ として書き換えます。

$| 3 - y | = e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

ステップ 3.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$3 - y = \pm e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}}$

ステップ 3.4.3

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- y = \pm e^{- \frac{4 + C - C x}{1 - x}} - 3$

ステップ 3.4.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

分数 $\frac{4 + C - C x}{1 - x}$ を2つの分数に分割します。

$- y = \pm e^{- (\frac{4 + C}{1 - x} + \frac{- C x}{1 - x})} - 3$

ステップ 3.4.3.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.2.1

分数 $\frac{4 + C}{1 - x}$ を2つの分数に分割します。

$- y = \pm e^{- (\frac{4}{1 - x} + \frac{C}{1 - x} + \frac{- C x}{1 - x})} - 3$

ステップ 3.4.3.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- y = \pm e^{- (\frac{4}{1 - x} + \frac{C}{1 - x} - \frac{C x}{1 - x})} - 3$

ステップ 3.4.3.2.3

分配則を当てはめます。

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} - - \frac{C x}{1 - x}} - 3$

ステップ 3.4.3.2.4

$- - \frac{C x}{1 - x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + 1 \frac{C x}{1 - x}} - 3$

ステップ 3.4.3.2.4.2

$\frac{C x}{1 - x}$ に $1$ をかけます。

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$

ステップ 3.4.4

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$- y = \pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}} - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.4.4.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

$\frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{- 1}{- 1}$ を掛けます。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.4.4.3.2

$\frac{- 3}{- 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{- 1}{- 1}$ を掛けます。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.4.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $1$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.3.1

$\frac{\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}}{- 1}$ に $\frac{- 1}{- 1}$ をかけます。

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.4.3.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.4.3.3.3

$\frac{- 3}{- 1}$ に $\frac{- 1}{- 1}$ をかけます。

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3 \cdot - 1}{- - 1}$

ステップ 3.4.4.3.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 3 \cdot - 1}{1}$

ステップ 3.4.4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{4}{1 - x} - \frac{C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

ステップ 3.4.4.3.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.5.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{(\pm e^{\frac{- 4 - C}{1 - x} + \frac{C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

ステップ 3.4.4.3.5.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{(\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}{1}$

ステップ 3.4.4.3.5.3

$- 1$ を $\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}$ の左に移動させます。

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) - 3 \cdot - 1}{1}$

ステップ 3.4.4.3.5.4

$- 1 (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}})$ を $- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}})$ に書き換えます。

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) - 3 \cdot - 1}{1}$

ステップ 3.4.4.3.5.5

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3}{1}$

ステップ 3.4.4.3.6

$- (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3$ を $1$ で割ります。

$y = - (\pm e^{\frac{- 4 - C + C x}{1 - x}}) + 3$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - (\pm e^{\frac{C + C x}{1 - x}}) + 3$

微分積分 例

微分積分例