微分積分例

$d x + e^{- 5 x} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $d x$ を引きます。

$e^{- 5 x} d y = - d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{- 5 x}} e^{- 5 x} d y = \frac{1}{e^{- 5 x}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$e^{- 5 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{- 5 x}} e^{- 5 x} d y = \frac{1}{e^{- 5 x}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$1 d y = \frac{1}{e^{- 5 x}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{e^{- 5 x}}$ と $- 1$ をまとめます。

$1 d y = \frac{- 1}{e^{- 5 x}} d x$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$1 d y = - \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

ステップ 4.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{- 5 x}} d x$

ステップ 4.3.2

式を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$e^{- 5 x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int 1 {(e^{- 5 x})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.2.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

${(e^{- 5 x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - \int 1 e^{- 5 x \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$y + C_{1} = - \int 1 e^{5 x} d x$

ステップ 4.3.2.2.2

$e^{5 x}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

ステップ 4.3.3

$u = 5 x$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.3.1

$u = 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.3.1.1

$5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 4.3.3.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 4.3.3.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 4.3.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

ステップ 4.3.4

$e^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{5} d u$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

ステップ 4.3.6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u} + C_{2})$

ステップ 4.3.7

簡約します。

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u} + C_{2}$

ステップ 4.3.8

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

微分積分 例

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