微分積分例

$2 x v d v + (v^{2} - 1) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(v^{2} - 1) d x$ を引きます。

$2 x v d v = - (v^{2} - 1) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{x (v^{2} - 1)} (2 x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = v$ であり、 $b = 1$ です。

$2 \frac{1}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.3

$2$ と $\frac{1}{x (v + 1) (v - 1)}$ をまとめます。

$\frac{2}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x$ を $x (v + 1) (v - 1)$ で因数分解します。

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.4.2

$x$ を $x v$ で因数分解します。

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x (v)) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.4.4

式を書き換えます。

$\frac{2}{(v + 1) (v - 1)} v d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.5

$\frac{2}{(v + 1) (v - 1)}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

ステップ 3.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

ステップ 3.7

$v^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- \frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

ステップ 3.7.2

$v^{2} - 1$ を $x (v^{2} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

ステップ 3.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

ステップ 3.7.4

式を書き換えます。

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ は $v$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$u = (v + 1) (v - 1)$ とします。次に $d u = 2 v d v$ すると、 $\frac{1}{2} d u = v d v$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$u = (v + 1) (v - 1)$ とします。 $\frac{d u}{d v}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$(v + 1) (v - 1)$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [(v + 1) (v - 1)]$

ステップ 4.2.2.1.2

$f (v) = v + 1$ および $g (v) = v - 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ は $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(v + 1) \frac{d}{d v} [v - 1] + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

ステップ 4.2.2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.1

総和則では、 $v - 1$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ です。

$(v + 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

ステップ 4.2.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(v + 1) (1 + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

ステップ 4.2.2.1.3.3

$- 1$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(v + 1) (1 + 0) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

ステップ 4.2.2.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(v + 1) \cdot 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

ステップ 4.2.2.1.3.4.2

$v + 1$ に $1$ をかけます。

$v + 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

ステップ 4.2.2.1.3.5

総和則では、 $v + 1$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ です。

$v + 1 + (v - 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1])$

ステップ 4.2.2.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$v + 1 + (v - 1) (1 + \frac{d}{d v} [1])$

ステップ 4.2.2.1.3.7

$1$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$v + 1 + (v - 1) (1 + 0)$

ステップ 4.2.2.1.3.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$v + 1 + (v - 1) \cdot 1$

ステップ 4.2.2.1.3.8.2

$v - 1$ に $1$ をかけます。

$v + 1 + v - 1$

ステップ 4.2.2.1.3.8.3

$v$ と $v$ をたし算します。

$2 v + 1 - 1$

ステップ 4.2.2.1.3.8.4

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.8.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$2 v + 0$

ステップ 4.2.2.1.3.8.4.2

$2 v$ と $0$ をたし算します。

$2 v$

ステップ 4.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7

$u$ のすべての発生を $(v + 1) (v - 1)$ で置き換えます。

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.3

簡約します。

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| (v + 1) (v - 1) | | x |) = C$

ステップ 5.3

分配法則（FOIL法）を使って $(v + 1) (v - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| v (v - 1) + 1 (v - 1) | | x |) = C$

ステップ 5.3.2

分配則を当てはめます。

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) | | x |) = C$

ステップ 5.3.3

分配則を当てはめます。

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

ステップ 5.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$v$ に $v$ をかけます。

$\ln (| v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

ステップ 5.4.1.2

$- 1$ を $v$ の左に移動させます。

$\ln (| v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

ステップ 5.4.1.3

$- 1 v$ を $- v$ に書き換えます。

$\ln (| v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

ステップ 5.4.1.4

$v$ に $1$ をかけます。

$\ln (| v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

ステップ 5.4.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (| v^{2} - v + v - 1 | | x |) = C$

ステップ 5.4.2

$- v$ と $v$ をたし算します。

$\ln (| v^{2} + 0 - 1 | | x |) = C$

ステップ 5.4.3

$v^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\ln (| v^{2} - 1 | | x |) = C$

ステップ 5.5

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| (v^{2} - 1) x |) = C$

ステップ 5.6

分配則を当てはめます。

$\ln (| v^{2} x - 1 x |) = C$

ステップ 5.7

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\ln (| v^{2} x - x |) = C$

ステップ 5.8

$v$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| v^{2} x - x |)} = e^{C}$

ステップ 5.9

対数の定義を利用して $\ln (| v^{2} x - x |) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = | v^{2} x - x |$

ステップ 5.10

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.1

方程式を $| v^{2} x - x | = e^{C}$ として書き換えます。

$| v^{2} x - x | = e^{C}$

ステップ 5.10.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$v^{2} x - x = \pm e^{C}$

ステップ 5.10.3

方程式の両辺に $x$ を足します。

$v^{2} x = \pm e^{C} + x$

ステップ 5.10.4

$v^{2} x = \pm e^{C} + x$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.4.1

$v^{2} x = \pm e^{C} + x$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

ステップ 5.10.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

ステップ 5.10.4.2.1.2

$v^{2}$ を $1$ で割ります。

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

ステップ 5.10.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.4.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.4.3.1.1

共通因数を約分します。

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

ステップ 5.10.4.3.1.2

式を書き換えます。

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + 1$

ステップ 5.10.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$

ステップ 5.10.6

$\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.6.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}}$

ステップ 5.10.6.2

公分母の分子をまとめます。

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$

ステップ 5.10.6.3

$\sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$ を $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ に書き換えます。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 5.10.6.4

$\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 5.10.6.5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.6.5.1

$\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

ステップ 5.10.6.5.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

ステップ 5.10.6.5.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

ステップ 5.10.6.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.10.6.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 5.10.6.5.6

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.6.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.10.6.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.10.6.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.10.6.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.6.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.10.6.5.6.4.2

式を書き換えます。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

ステップ 5.10.6.5.6.5

簡約します。

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x}$

ステップ 5.10.6.6

根の積の法則を使ってまとめます。

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$

ステップ 5.10.6.7

$\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$v = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} + x)}}{x}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$v = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

微分積分 例

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