微分積分例

$(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 \frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $x y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 x - x y$

ステップ 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ を $\frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$\frac{d y}{d x}$ を ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 - x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 x - x y$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $- x^{2} \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} (- x^{2}) = 3 x - x y$

ステップ 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x}$ を $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} (- x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} (1 - x^{2}) = 3 x - x y$

ステップ 1.1.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} (1^{2} - x^{2}) = 3 x - x y$

ステップ 1.1.5

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{d y}{d x} ((1 + x) (1 - x)) = 3 x - x y$

ステップ 1.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$

ステップ 1.1.6

$\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$ の各項を $(1 + x) (1 - x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

$\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x) = 3 x - x y$ の各項を $(1 + x) (1 - x)$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.1.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.2.1

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.1.6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - x)}{1 - x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.1.6.2.2

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - x)}{1 - x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.1.6.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- x y}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.1.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{x y}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x - x y}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$x$ を $3 x - x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 - x y}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.2.2.1.2

$x$ を $- x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x (- 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.2.2.1.3

$x$ を $x \cdot 3 + x (- 1 y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (3 - 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.2.2.1.4

$x$ に $3 - 1 y$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 - 1 y)}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.2.2.2

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 - y)}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y)$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{1}{3 - y}$ を掛けます。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y))$

ステップ 1.5

$3 - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$3 - y$ を $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} (3 - y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) \frac{x}{(1 + x) (1 - x)})$

ステップ 1.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} ((3 - y) \frac{x}{(1 + x) (1 - x)})$

ステップ 1.5.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = 3 - y$ とします。次に $d u_{1} = - d y$ すると、 $- d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 3 - y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.2.1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2.2

分数を複数の分数に分割します。

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $3 - y$ で置き換えます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ とします。次に $d u_{2} = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$(1 + x) (1 - x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

ステップ 2.3.1.1.2

$f (x) = 1 + x$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.3.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.3.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.6.2

$- 1$ を $1 + x$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.6.3

$- 1 (1 + x)$ を $- (1 + x)$ に書き換えます。

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.7

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.1.1.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.1.1.3.9

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.1.1.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.3.11

$1 - x$ に $1$ をかけます。

$- (1 + x) + 1 - x$

ステップ 2.3.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

ステップ 2.3.1.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.4.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - x + 1 - x$

ステップ 2.3.1.1.4.2.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$- x + 0 - x$

ステップ 2.3.1.1.4.2.3

$- x$ と $0$ をたし算します。

$- x - x$

ステップ 2.3.1.1.4.2.4

$- x$ から $x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.2.3

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u_{2}$ のすべての発生を $(1 + x) (1 - x)$ で置き換えます。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \ln (| 3 - y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\ln (| (1 + x) (1 - x) |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \ln (| 3 - y |) = - \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x) |)}{2} + C$

ステップ 3.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x) |)}{2} = C$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

分配則を当てはめます。

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |)}{2} = C$

ステップ 3.3.1.2

分配則を当てはめます。

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |)}{2} = C$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

ステップ 3.3.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

ステップ 3.3.2.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |)}{2} = C$

ステップ 3.3.2.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x + x (- x) |)}{2} = C$

ステップ 3.3.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - x \cdot x |)}{2} = C$

ステップ 3.3.2.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.5.1

$x$ を移動させます。

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |)}{2} = C$

ステップ 3.3.2.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x + x - x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.3.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 + 0 - x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.3.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \ln (| 3 - y |) + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.4

$- \ln (| 3 - y |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \ln (| 3 - y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.5

$- \ln (| 3 - y |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- \ln (| 3 - y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \ln (| 3 - y |) \cdot 2 + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 \ln (| 3 - y |) + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.8

$- 1$ を $- 2 \ln (| 3 - y |)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |)) + \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.9

$- 1$ を $\ln (| 1 - x^{2} |)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |)) - 1 (- \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

ステップ 3.10

$- 1$ を $- (2 \ln (| 3 - y |)) - 1 (- \ln (| 1 - x^{2} |))$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

ステップ 3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$- (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))$ を $- 1 (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |))}{2} = C$

ステップ 3.11.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.12

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

$- \frac{2 \ln (| 3 - y |) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| 3 - y |)$ を簡約します。

$- \frac{\ln ({| 3 - y |}^{2}) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| 3 - y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$- \frac{\ln ({(3 - y)}^{2}) - \ln (| 1 - x^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x^{2} |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.1.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1^{2} - x^{2} |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.3

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.1.4.3.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 (1 - x) + x (1 - x) |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.3.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.3.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.1.4.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.1.4.4.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.4.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.4.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x + x (- x) |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.4.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - x \cdot x |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.4.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.1.4.4.1.5.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - (x \cdot x) |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.4.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x + x - x^{2} |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.4.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 + 0 - x^{2} |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.4.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1 - x^{2} |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| 1^{2} - x^{2} |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.1.4.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$- \frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2} = C$

ステップ 3.12.1.2

$\frac{\ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})$ に書き換えます。

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})) = C$

ステップ 3.12.1.3

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})$ を簡約します。

$- \ln ({(\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.12.1.4

積の法則を $\frac{{(3 - y)}^{2}}{| (1 + x) (1 - x) |}$ に当てはめます。

$- \ln (\frac{{({(3 - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.5.1

${({(3 - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.5.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.5.1.2.2

式を書き換えます。

$- \ln (\frac{{(3 - y)}^{1}}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.5.2

簡約します。

$- \ln (\frac{3 - y}{{| (1 + x) (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.6.1.1

分配則を当てはめます。

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 (1 - x) + x (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.6.1.2

分配則を当てはめます。

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.6.1.3

分配則を当てはめます。

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.6.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.6.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.6.2.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.6.2.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x + x (- x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.6.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - x \cdot x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.6.2.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1.6.2.1.5.1

$x$ を移動させます。

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - (x \cdot x) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.6.2.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x + x - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.6.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 + 0 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.12.1.6.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.13

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.1

$- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.13.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.13.2.2

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})$ を $1$ で割ります。

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.13.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.3.1

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - 1 \cdot C$

ステップ 3.13.3.2

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - C$

ステップ 3.14

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{- C}$

ステップ 3.15

対数の定義を利用して $\ln (\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = - C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- C} = \frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.16

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1

方程式を $\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{- C}$ として書き換えます。

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{- C}$

ステップ 3.16.2

両辺に ${| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.16.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.3.1

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.3.1.1

${| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 - y}{{| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.16.3.1.1.2

式を書き換えます。

$3 - y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.16.3.1.2

$3$ と $- y$ を並べ替えます。

$- y + 3 = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.16.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.4.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$

ステップ 3.16.4.2

$- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.4.2.1

$- y = e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.16.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.16.4.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.16.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.4.2.3.1.1

$\frac{e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.16.4.2.3.1.2

$- 1 \cdot (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ を $- (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ に書き換えます。

$y = - (e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.16.4.2.3.1.3

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$y = - e^{- C} {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} + 3$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = C {| 1 - x^{2} |}^{\frac{1}{2}} + 3$

微分積分 例

微分積分例