微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y = 0$

ステップ 1

$P (x) = \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

ステップ 1.2

$\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$e^{5 \int \frac{x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

ステップ 1.2.2

式を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$e^{3 x^{3}}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$e^{5 \int x^{2} {(e^{3 x^{3}})}^{- 1} d x}$

ステップ 1.2.2.2

${(e^{3 x^{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{5 \int x^{2} e^{3 x^{3} \cdot - 1} d x}$

ステップ 1.2.2.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$e^{5 \int x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x}$

ステップ 1.2.3

$u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ とします。次に $d u_{2} = - 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ すると、 $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.2.3.1

$u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.2.3.1.1

$e^{- 3 x^{3}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{3}}]$

ステップ 1.2.3.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 3 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.3.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- 3 x^{3}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

ステップ 1.2.3.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

ステップ 1.2.3.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- 3 x^{3}$ で置き換えます。

$e^{- 3 x^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

ステップ 1.2.3.1.3

微分します。

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ステップ 1.2.3.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{3}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.2.3.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 (3 x^{2}))$

ステップ 1.2.3.1.3.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$

ステップ 1.2.3.1.4

簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.4.1

$e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$

ステップ 1.2.3.1.4.2

$- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}}$

ステップ 1.2.3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{5 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}}$

ステップ 1.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$e^{5 \int - \frac{1}{9} d u_{2}}$

ステップ 1.2.5

定数の法則を当てはめます。

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2} + C)}$

ステップ 1.2.6

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

簡約します。

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C}$

ステップ 1.2.6.2

簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.1

$u_{2}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$e^{5 (- \frac{u_{2}}{9}) + C}$

ステップ 1.2.6.2.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$e^{- 5 \frac{u_{2}}{9} + C}$

ステップ 1.2.6.2.3

$- 5$ と $\frac{u_{2}}{9}$ をまとめます。

$e^{\frac{- 5 u_{2}}{9} + C}$

ステップ 1.2.6.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- \frac{5 u_{2}}{9} + C}$

ステップ 1.2.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{- 3 x^{3}}$ で置き換えます。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} + C}$

ステップ 1.2.6.4

項を並べ替えます。

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}} + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}}}$

ステップ 1.4

$e^{- 3 x^{3}}$ と $\frac{5}{9}$ をまとめます。

$e^{- \frac{e^{- 3 x^{3}} \cdot 5}{9}}$

ステップ 1.5

$5$ を $e^{- 3 x^{3}}$ の左に移動させます。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ を掛けます。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ と $y$ をまとめます。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

ステップ 2.2.2

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ と $\frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}}$ をまとめます。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

ステップ 2.2.3

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ と $e^{3 x^{3}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

$e^{3 x^{3}}$ を $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)$ で因数分解します。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

ステップ 2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$1$ を掛けます。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

ステップ 2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

ステップ 2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)}{1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

ステップ 2.2.3.2.4

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)$ を $1$ で割ります。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

ステップ 2.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

ステップ 2.3

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ に $0$ をかけます。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$

ステップ 2.4

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$ の因数を並べ替えます。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 x^{2} y e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} = 0$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] = 0$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] d x = \int 0 d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = \int 0 d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = 0 + C$

ステップ 6.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$

ステップ 7

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ の各項を $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ の各項を $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ で割ります。

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

微分積分 例

微分積分例