微分積分例

$(1 + y^{2}) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(1 + y^{2}) d x$ を引きます。

$- (1 + x^{2}) d y = - (1 + y^{2}) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ を掛けます。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3.2

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3.5

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3.5.2

$1 + y^{2}$ を $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ で因数分解します。

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3.5.3

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3.5.4

式を書き換えます。

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$- (\arctan (y) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4

簡約します。

$- \arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 4.3.3

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{2}$ です。

$- \arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

ステップ 4.3.4

簡約します。

$- \arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

$- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 5.1.2.2

$\arctan (y)$ を $1$ で割ります。

$\arctan (y) = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 5.1.3.1.2

$\arctan (x)$ を $1$ で割ります。

$\arctan (y) = \arctan (x) + \frac{K}{- 1}$

ステップ 5.1.3.1.3

$\frac{K}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\arctan (y) = \arctan (x) - 1 \cdot K$

ステップ 5.1.3.1.4

$- 1 \cdot K$ を $- K$ に書き換えます。

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

ステップ 5.2

方程式を $\arctan (x) - K = \arctan (y)$ として書き換えます。

$\arctan (x) - K = \arctan (y)$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $K$ を足します。

$\arctan (x) = \arctan (y) + K$

ステップ 5.4

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$x = \tan (\arctan (y) + K)$

ステップ 5.5

方程式を $\tan (\arctan (y) + K) = x$ として書き換えます。

$\tan (\arctan (y) + K) = x$

ステップ 5.6

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $\arctan (y)$ を取り出します。

$\arctan (y) + K = \arctan (x)$

ステップ 5.7

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

ステップ 5.8

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\arctan (x) - K)$

ステップ 5.9

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\tan (\arctan (y) + K) = x$

ステップ 5.10

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $\arctan (y)$ を取り出します。

$\arctan (y) + K = \arctan (x)$

ステップ 5.11

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

ステップ 5.12

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\arctan (x) - K)$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

微分積分 例

微分積分例