微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} - 1}$

ステップ 1

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ を ${(\frac{y}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{y}{x})}^{2} - 1}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}}$

ステップ 6.1.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = V$ であり、 $b = 1$ です。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$

ステップ 6.1.1.2.2

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} - V$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

ステップ 6.1.1.2.2.2

$0$ と $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

ステップ 6.1.3

$\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}{x}$

ステップ 6.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{(V + 1) (V - 1)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

平方を完成させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(V + 1) (V - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$V (V - 1) + 1 (V - 1)$

ステップ 6.2.2.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1)$

ステップ 6.2.2.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

ステップ 6.2.2.1.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.2.1.1

$V$ に $V$ をかけます。

$V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1$

ステップ 6.2.2.1.1.2.1.2

$- 1$ を $V$ の左に移動させます。

$V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1$

ステップ 6.2.2.1.1.2.1.3

$- 1 V$ を $- V$ に書き換えます。

$V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1$

ステップ 6.2.2.1.1.2.1.4

$V$ に $1$ をかけます。

$V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1$

ステップ 6.2.2.1.1.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$V^{2} - V + V - 1$

ステップ 6.2.2.1.1.2.2

$- V$ と $V$ をたし算します。

$V^{2} + 0 - 1$

ステップ 6.2.2.1.1.2.3

$V^{2}$ と $0$ をたし算します。

$V^{2} - 1$

ステップ 6.2.2.1.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 0$

$c = - 1$

ステップ 6.2.2.1.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 6.2.2.1.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.2.1.4.2

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.4.2.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.4.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

ステップ 6.2.2.1.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.2.1.4.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{0}{1}$

ステップ 6.2.2.1.4.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$d = 0$

ステップ 6.2.2.1.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.2.2.1.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = - 1 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.2.2.1.5.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = - 1 - \frac{0}{4}$

ステップ 6.2.2.1.5.2.1.3

$0$ を $4$ で割ります。

$e = - 1 - 0$

ステップ 6.2.2.1.5.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = - 1 + 0$

ステップ 6.2.2.1.5.2.2

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$e = - 1$

ステップ 6.2.2.1.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(V + 0)}^{2} - 1$ に代入します。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(V + 0)}^{2} - 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$u = V + 0$ とします。次に $d u = d V$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$u = V + 0$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

$V + 0$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

ステップ 6.2.2.2.1.2

総和則では、 $V + 0$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ です。

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

ステップ 6.2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

ステップ 6.2.2.2.1.4

$0$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.2.2.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u = \sec (t)$ とします。次に $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.4.1

$\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.4.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4.2

$\tan (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.4.2.1

$\tan (t)$ を $\sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.6.1

$t$ のすべての発生を $arcsec (u)$ で置き換えます。

$\ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6.2

$u$ のすべての発生を $V + 0$ で置き換えます。

$\ln (| \sec (arcsec (V + 0)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.7.1

$V$ と $0$ をたし算します。

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V + 0)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7.2

$V$ と $0$ をたし算します。

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 6.3.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| \sec (arcsec (V)) + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

ステップ 6.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

関数の正割と逆正割は逆です。

$\ln (\frac{| V + \tan (arcsec (V)) |}{| x |}) = C$

ステップ 6.3.3.2

交点 $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arcsec (V)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \sqrt{V^{2} - 1^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\tan (arcsec (V))$ は $\sqrt{V^{2} - 1}$ です。

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1} |}{| x |}) = C$

ステップ 6.3.3.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\ln (\frac{| V + \sqrt{V^{2} - 1^{2}} |}{| x |}) = C$

ステップ 6.3.3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = V$ であり、 $b = 1$ です。

$\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$

ステップ 6.3.4

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |})} = e^{C}$

ステップ 6.3.5

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |}$

ステップ 6.3.6

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.1

方程式を $\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} = e^{C}$

ステップ 6.3.6.2

両辺に $| x |$ を掛けます。

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

ステップ 6.3.6.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.3.1

$| x |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

ステップ 6.3.6.3.1.2

式を書き換えます。

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = e^{C} | x |$

ステップ 6.3.6.4

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.1

$e^{C} | x |$ の因数を並べ替えます。

$| V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} | = | x | e^{C}$

ステップ 6.3.6.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm | x | e^{C}$

ステップ 6.3.6.4.3

$\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.3.1

$\pm | x | e^{C}$ の因数を並べ替えます。

$V + \sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x |$

ステップ 6.3.6.4.3.2

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$\sqrt{(V + 1) (V - 1)} = \pm e^{C} | x | - V$

ステップ 6.3.6.4.4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{(V + 1) (V - 1)}}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(V + 1) (V - 1)}$ を ${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.2.1

${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.1

${({((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${((V + 1) (V - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${((V + 1) (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(V + 1) (V - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

${(V (V - 1) + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1))}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

${(V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.3.1.1

$V$ に $V$ をかけます。

${(V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.3.1.2

$- 1$ を $V$ の左に移動させます。

${(V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.3.1.3

$- 1 V$ を $- V$ に書き換えます。

${(V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.3.1.4

$V$ に $1$ をかけます。

${(V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(V^{2} - V + V - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.3.2

$- V$ と $V$ をたし算します。

${(V^{2} + 0 - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.3.3

$V^{2}$ と $0$ をたし算します。

${(V^{2} - 1)}^{1} = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.2.1.4

簡約します。

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.3.1

${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.1

${(\pm e^{C} | x | - V)}^{2}$ を $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ に書き換えます。

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\pm e^{C} | x | - V) (\pm e^{C} | x | - V)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x | - V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x | - V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$V^{2} - 1 = (\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1

$(\pm e^{C} | x |) (\pm e^{C} | x |)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.1

$\pm e^{C} | x |$ を $1$ 乗します。

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} (\pm e^{C} | x |) + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.2

$\pm e^{C} | x |$ を $1$ 乗します。

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1} {(\pm e^{C} | x |)}^{1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{1 + 1} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$V^{2} - 1 = {(\pm e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.2

Remove the plus-minus sign on $\pm e^{C} | x |$ because it is raised to an even power.

$V^{2} - 1 = {(e^{C} | x |)}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.3

積の法則を $e^{C} | x |$ に当てはめます。

$V^{2} - 1 = {(e^{C})}^{2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4

${(e^{C})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V^{2} - 1 = e^{C \cdot 2} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.4.2

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} {| x |}^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.5

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} + (\pm e^{C} | x |) (- V) - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - V (- V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V \cdot V$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8

指数を足して $V$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.1

$V$ を移動させます。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.8.2

$V$ に $V$ をかけます。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) - 1 \cdot - 1 V^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + 1 V^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.1.10

$V^{2}$ に $1$ をかけます。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - (\pm e^{C} | x |) V - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.2

$- (\pm e^{C} | x |) V$ から $V (\pm e^{C} | x |)$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.2.1

$\pm e^{C} | x |$ を移動させます。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 1 V (\pm e^{C} | x |) - V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.3.2.2

$- 1 V (\pm e^{C} | x |)$ から $V (\pm e^{C} | x |)$ を引きます。

$V^{2} - 1 = e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

ステップ 6.3.6.4.5.3.1.4

$e^{2 C} x^{2} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$ の因数を並べ替えます。

$V^{2} - 1 = x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2}$

ステップ 6.3.6.4.6

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.6.1

$V$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} = V^{2} - 1$

ステップ 6.3.6.4.6.2

$V$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.6.2.1

方程式の両辺から $V^{2}$ を引きます。

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2} = - 1$

ステップ 6.3.6.4.6.2.2

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + V^{2} - V^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.6.2.2.1

$V^{2}$ から $V^{2}$ を引きます。

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) + 0 = - 1$

ステップ 6.3.6.4.6.2.2.2

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |)$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} e^{2 C} - 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1$

ステップ 6.3.6.4.6.3

方程式の両辺から $x^{2} e^{2 C}$ を引きます。

$- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

ステップ 6.3.6.4.6.4

$- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ の各項を $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.6.4.1

$- 2 V (\pm e^{C} | x |) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ の各項を $- 2 (\pm e^{C} | x |)$ で割ります。

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

ステップ 6.3.6.4.6.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.6.4.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 V (\pm e^{C} | x |)}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

ステップ 6.3.6.4.6.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

ステップ 6.3.6.4.6.4.2.2

$\pm e^{C} | x |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.6.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{V (\pm e^{C} | x |)}{\pm e^{C} | x |} = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

ステップ 6.3.6.4.6.4.2.2.2

$V$ を $1$ で割ります。

$V = \frac{- 1}{- 2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

ステップ 6.3.6.4.6.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.6.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.6.4.6.4.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- 2 (\pm e^{C} | x |)}$

ステップ 6.3.6.4.6.4.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$V = \frac{1}{2 (\pm e^{C} | x |)} + \frac{x^{2} e^{2 C}}{2 (\pm e^{C} | x |)}$

ステップ 6.4

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

積分定数を簡約します。

$V = \frac{1}{2 (\pm C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

ステップ 6.4.2

定数を正または負でまとめます。

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (\pm C | x |)}$

ステップ 6.4.3

定数を正または負でまとめます。

$V = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = \frac{1}{2 (C | x |)} + \frac{x^{2} C}{2 (C | x |)}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$(\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

$C$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2} C}{2 C | x |}) x$

ステップ 8.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\frac{1}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |}) x$

ステップ 8.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{1}{2 C | x |} x + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

ステップ 8.2.2.1.3

$\frac{1}{2 C | x |}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2}}{2 | x |} x$

ステップ 8.2.2.1.4

$\frac{x^{2}}{2 | x |} x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.4.1

$\frac{x^{2}}{2 | x |}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x}{2 | x |}$

ステップ 8.2.2.1.4.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.4.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.4.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 | x |}$

ステップ 8.2.2.1.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{2 + 1}}{2 | x |}$

ステップ 8.2.2.1.4.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{x}{2 C | x |} + \frac{x^{3}}{2 | x |}$

微分積分 例

微分積分例