微分積分例

$\frac{d y}{d x} = {(y + 2)}^{6}$ , $y (0) = - 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{{(y + 2)}^{6}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

ステップ 1.2

${(y + 2)}^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = 1 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = \int d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y + 2$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = y + 2$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$y + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y + 2$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

ステップ 2.2.1.1.4

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{6}} d u = \int d x$

ステップ 2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.2.1

$u^{6}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u = \int d x$

ステップ 2.2.2.2

${(u^{6})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{6 \cdot - 1} d u = \int d x$

ステップ 2.2.2.2.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{- 6} d u = \int d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $u^{- 6}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ です。

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.4

簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1}$ を $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.4.2

簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$\frac{1}{u^{5}}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.4.2.2

$5$ を $u^{5}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.5

$u$ のすべての発生を $y + 2$ で置き換えます。

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ の $0$ を $x$ に、 $- 1$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}} = 0 + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ として書き換えます。

$0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

ステップ 4.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

ステップ 4.3

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1^{5}}$

ステップ 4.3.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2

$5$ に $1$ をかけます。

$K = - \frac{1}{5}$

ステップ 5

$- \frac{1}{5}$ を $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- \frac{1}{5}$ を $K$ に代入します。

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x - \frac{1}{5}$

微分積分 例

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