微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ を分解し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数 $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ を $x^{2} - x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2.1.1.2

$x$ を $- x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2.1.1.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 1 y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2.1.2

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2.3

分数 $\frac{x - y}{y}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2.4.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2.5

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{x y}$

ステップ 1.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.2.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

ステップ 1.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

ステップ 1.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y}{x}$

ステップ 1.2

$\frac{x}{y}$ を ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - 1 + \frac{y}{x}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - 1 + V$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - 1 + V$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

変数を分けます。

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ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 6.1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - 1 + V$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1.1.2.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + V - V$

ステップ 6.1.1.2.2

$\frac{1}{V} - 1 + V - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.2.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + 0$

ステップ 6.1.1.2.2.2

$\frac{1}{V} - 1$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.1.2

$\frac{1}{V}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.2

因数分解。

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ステップ 6.1.2.1

$- \frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{V}{V}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{V}{V}$

ステップ 6.1.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $V x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.1.2.2.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{V}{V}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{x V}$

ステップ 6.1.2.2.2

$x V$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{V x}$

ステップ 6.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V x}$

ステップ 6.1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.4

両辺に $\frac{V}{1 - V}$ を掛けます。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} (\frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.5

簡約します。

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ステップ 6.1.5.1

$\frac{1 - V}{V}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

ステップ 6.1.5.2

$V$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.5.2.1

$V$ を $V x$ で因数分解します。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V (x)}$

ステップ 6.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

ステップ 6.1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

ステップ 6.1.5.3

$1 - V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

ステップ 6.1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{V}{1 - V} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{V}{1 - V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.2.1

$1$ と $- V$ を並べ替えます。

$\int \frac{V}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$V$ を $- V + 1$ で割ります。

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ステップ 6.2.2.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$V$

$1$

$V$

$0$

ステップ 6.2.2.2.2

被除数 $V$ の最高次項を除数 $- V$ の最高次項で割ります。

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$

ステップ 6.2.2.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				+	$V$	-	$1$

ステップ 6.2.2.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $V - 1$ の符号をすべて変更します。

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$

ステップ 6.2.2.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$
						+	$1$

ステップ 6.2.2.2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int - 1 + \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 1 d V + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

定数の法則を当てはめます。

$- V + C_{1} + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5

$u = - V + 1$ とします。次に $d u = - d V$ すると、 $- d u = d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.2.5.1

$u = - V + 1$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

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ステップ 6.2.2.5.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 6.2.2.5.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 6.2.2.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- V + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- V + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- V + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- V + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.9

簡約します。

$- V - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.10

$u$ のすべての発生を $- V + 1$ で置き換えます。

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- V - \ln (| - V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 8

$y$ について $- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ を解きます。

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ステップ 8.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = \frac{y}{x} + C$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $\ln (| x |)$ を足します。

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$

ステップ 8.3

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.3.1

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{- 1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.3.1.1

$\frac{\frac{y}{x}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - 1 \cdot \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{y}{x}$ を $- \frac{y}{x}$ に書き換えます。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.3.1.3

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.3.1.4

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.3.1.5

$\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

ステップ 8.3.3.1.6

$- 1 \cdot \ln (| x |)$ を $- \ln (| x |)$ に書き換えます。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - \ln (| x |)$

ステップ 8.4

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} - C$

ステップ 8.5

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 | | x |) = - \frac{y}{x} - C$

ステップ 8.6

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| (- \frac{y}{x} + 1) x |) = - \frac{y}{x} - C$

ステップ 8.7

分配則を当てはめます。

$\ln (| - \frac{y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

ステップ 8.8

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.1

$- \frac{y}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

ステップ 8.8.2

共通因数を約分します。

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

ステップ 8.8.3

式を書き換えます。

$\ln (| - y + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

ステップ 8.9

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (| - y + x |) = - \frac{y}{x} - C$

微分積分 例

微分積分例