微分積分例

$(1 + x^{2}) d y - (1 + y^{2}) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $(1 + y^{2}) d x$ を足します。

$(1 + x^{2}) d y = (1 + y^{2}) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ を掛けます。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3.2

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$1 + y^{2}$ を $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{2}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ として書き換えます。

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

ステップ 5.3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

ステップ 5.4

方程式を $\tan (\arctan (y) - K) = x$ として書き換えます。

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

ステップ 5.5

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $\arctan (y)$ を取り出します。

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

ステップ 5.6

方程式の両辺に $K$ を足します。

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

ステップ 5.7

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

ステップ 5.8

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

ステップ 5.9

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $\arctan (y)$ を取り出します。

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

ステップ 5.10

方程式の両辺に $K$ を足します。

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

ステップ 5.11

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

微分積分 例

微分積分例