微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2}$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $x y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 1.4

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

ステップ 1.5

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

ステップ 1.6

$y$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2}$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$x y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

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ステップ 5.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$x y = 3 \int x^{2} d x$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

ステップ 5.3

答えを簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ を $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ に書き換えます。

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

ステップ 5.3.2

簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

ステップ 5.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

ステップ 5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$x y = 1 x^{3} + C$

ステップ 5.3.2.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$x y = x^{3} + C$

ステップ 6

$x y = x^{3} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$x y = x^{3} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.4

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.5

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = x^{2} + \frac{C}{x}$

微分積分 例

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