微分積分例

$(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ の各項を $y^{2} + x^{2} y^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ の各項を $y^{2} + x^{2} y^{2}$ で割ります。

$\frac{(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x^{2} y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$y^{2} + x^{2} y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(y^{2} + x^{2} y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x^{2} y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + x^{2} y^{2}}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$y^{2}$ を $y^{2} + x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.3.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + x^{2} y^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$y^{2}$ を $x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.3

$y^{2}$ を $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.3

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{1}{y^{2}}$ に $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

ステップ 1.4.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x^{2})}$

ステップ 1.4.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$y^{2} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{2}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = \arctan (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\arctan (x) + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (\arctan (x) + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 \arctan (x) + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{3 \arctan (x) + 3 K}$

ステップ 3.4

$3$ を $3 \arctan (x) + 3 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$3$ を $3 \arctan (x)$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (\arctan (x)) + 3 K}$

ステップ 3.4.2

$3$ を $3 (\arctan (x)) + 3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (\arctan (x) + K)}$

微分積分 例

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