微分積分例

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \tan (x)$ , $y (0) = \sqrt{3}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{1 + y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

ステップ 1.2

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$1 + y^{2}$ を $(1 + y^{2}) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (\tan (x)))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \tan (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.3

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\arctan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

ステップ 4

初期条件を利用し、 $y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$ の $0$ を $x$ に、 $\sqrt{3}$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$\sqrt{3} = \tan (\ln (| \sec (0) |) + C)$

ステップ 5

$C$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$ として書き換えます。

$\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$

ステップ 5.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $C$ を取り出します。

$| \sec (0) | = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$| \sec (0) |$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$| 1 | = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 5.3.1.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$1 = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 5.4

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$1 = \frac{π}{3}$

ステップ 5.5

$3.14159265$ を $3$ で割ります。

$1 = 1.04719755$

ステップ 5.6

$1 \neq 1.04719755$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 5.7

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$1 = π + \frac{π}{3}$

ステップ 5.8

$C$ について解きます。

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ステップ 5.8.1

$(3.14159265) + \frac{3.14159265}{3}$ を簡約します。

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ステップ 5.8.1.1

$3.14159265$ を $3$ で割ります。

$1 = 3.14159265 + 1.04719755$

ステップ 5.8.1.2

$3.14159265$ と $1.04719755$ をたし算します。

$1 = 4.1887902$

ステップ 5.8.2

$1 \neq 4.1887902$ なので、解はありません。

$解がありません$

微分積分 例

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