微分積分例

$\frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 x$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$\frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} \cdot d y = 2 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{3 y^{2} + 1}{y^{3} + y} d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y^{3} + y$ とします。次に $d u = (3 y^{2} + 1) d y$ すると、 $\frac{1}{3 y^{2} + 1} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = y^{3} + y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$y^{3} + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{3} + y]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y^{3} + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} + 1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y^{3} + y$ で置き換えます。

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y^{3} + y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y^{3} + y |) = x^{2} + C$

微分積分 例

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