微分積分例

$\frac{d T}{d x} = 21 x^{6}$ , $T (0) = 8$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d T = 21 x^{6} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d T = \int 21 x^{6} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$T + C_{1} = \int 21 x^{6} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$21$ は $x$ に対して定数なので、 $21$ を積分の外に移動させます。

$T + C_{1} = 21 \int x^{6} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{7} x^{7}$ です。

$T + C_{1} = 21 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$21 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2})$ を $21 (\frac{1}{7}) x^{7} + C_{2}$ に書き換えます。

$T + C_{1} = 21 (\frac{1}{7}) x^{7} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$21$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$T + C_{1} = \frac{21}{7} x^{7} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$21$ と $7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

$7$ を $21$ で因数分解します。

$T + C_{1} = \frac{7 \cdot 3}{7} x^{7} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$T + C_{1} = \frac{7 \cdot 3}{7 (1)} x^{7} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$T + C_{1} = \frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 1} x^{7} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$T + C_{1} = \frac{3}{1} x^{7} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$T + C_{1} = 3 x^{7} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$T = 3 x^{7} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $T = 3 x^{7} + K$ の $0$ を $x$ に、 $8$ を $T$ に代入し $K$ の値を求めます。

$8 = 3 \cdot 0^{7} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $3 \cdot 0^{7} + K = 8$ として書き換えます。

$3 \cdot 0^{7} + K = 8$

ステップ 4.2

$3 \cdot 0^{7} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 + K = 8$

ステップ 4.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$0 + K = 8$

ステップ 4.2.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = 8$

ステップ 5

$8$ を $T = 3 x^{7} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$8$ を $K$ に代入します。

$T = 3 x^{7} + 8$

微分積分 例

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