微分積分例

$y^{2} \frac{d y}{d t} = \sin (2 t)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$y^{2} d y = \sin (2 t) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int \sin (2 t) d t$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sin (2 t) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 2.3.1.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{\cos (2 t)}{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.7

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} \cos (2 t) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\cos (2 t)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y^{3} = 3 (- \frac{\cos (2 t)}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$3 (- \frac{\cos (2 t)}{2})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y^{3} = - 3 \frac{\cos (2 t)}{2} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$- 3$ と $\frac{\cos (2 t)}{2}$ をまとめます。

$y^{3} = \frac{- 3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{3} = - \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K}$

ステップ 3.4

$3$ を $- \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$3$ を $- \frac{3 \cos (2 t)}{2}$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K}$

ステップ 3.4.2

$3$ を $3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{\cos (2 t)}{2} + K)}$

微分積分 例

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