微分積分例

${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$ の各項を ${(y \ln (x))}^{- 1}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

${(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2}$ の各項を ${(y \ln (x))}^{- 1}$ で割ります。

$\frac{{(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x}}{{(y \ln (x))}^{- 1}} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

${(y \ln (x))}^{- 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(y \ln (x))}^{- 1} \frac{d y}{d x}}{{(y \ln (x))}^{- 1}} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(\frac{x}{y + 1})}^{2}}{{(y \ln (x))}^{- 1}}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して ${(y \ln (x))}^{- 1}$ を分子に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{x}{y + 1})}^{2} (y \ln (x))$

ステップ 1.1.3.2

積の法則を $\frac{x}{y + 1}$ に当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} (y \ln (x))$

ステップ 1.1.3.3

$\frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} (y \ln (x))$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.3.1

$y$ と $\frac{x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} \ln (x)$

ステップ 1.1.3.3.2

$\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{{(y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{{(y + 1)}^{2}} x^{2} \ln (x)$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{{(y + 1)}^{2}}{y}$ を掛けます。

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} (\frac{y}{{(y + 1)}^{2}} x^{2} \ln (x))$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{y}{{(y + 1)}^{2}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} (\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}} \ln (x))$

ステップ 1.4.2

$\frac{y x^{2}}{{(y + 1)}^{2}}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{y x^{2} \ln (x)}{{(y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.4.3

まとめる。

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2} (y x^{2} \ln (x))}{y {(y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.4.4

${(y + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{{(y + 1)}^{2} (y x^{2} \ln (x))}{y {(y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{y}$

ステップ 1.4.5

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} \ln (x)}{y}$

ステップ 1.4.5.2

$x^{2} \ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} \ln (x)$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y = x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

${(y + 1)}^{2}$ を $(y + 1) (y + 1)$ に書き換えます。

$\int \frac{(y + 1) (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\int \frac{y (y + 1) + 1 (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.4

分配則を当てはめます。

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.5

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{y \cdot y + 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.6

$y$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{y^{1} y + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.7

$y$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{y^{1} y^{1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{y^{1 + 1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.9

式を簡約します。

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ステップ 2.2.9.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{y^{2} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.9.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.9.3

$y$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1 \cdot 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.9.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.10

$y$ と $y$ をたし算します。

$\int \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.11

$y^{2} + 2 y + 1$ を $y$ で割ります。

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ステップ 2.2.11.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

ステップ 2.2.11.2

被除数 $y^{2}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$

ステップ 2.2.11.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

ステップ 2.2.11.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

ステップ 2.2.11.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$

ステップ 2.2.11.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

ステップ 2.2.11.7

被除数 $2 y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

ステップ 2.2.11.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	+	$0$

ステップ 2.2.11.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 y + 0$ の符号をすべて変更します。

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$

ステップ 2.2.11.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

ステップ 2.2.11.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int y + 2 + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.12

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y d y + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.13

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.14

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.15

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.2.16

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \int x^{2} \ln (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$x^{3}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

ステップ 2.3.4.2

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

ステップ 2.3.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

ステップ 2.3.4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 2.3.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 2.3.4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

ステップ 2.3.4.2.2.5

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5})$

ステップ 2.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5})$ を $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.1

$\frac{1}{3}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

ステップ 2.3.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

ステップ 2.3.6.2.3

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{5}$

ステップ 2.3.6.2.4

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

ステップ 2.3.6.3

$x^{3}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C_{5}$

ステップ 2.3.6.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

ステップ 2.3.7

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C$

微分積分 例

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