微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sqrt{y}$

ステップ 1

微分方程式をベルヌーイ法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2

$y$ を $\frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.3

$y$ と $\frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{\frac{1}{2}}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{2}$

ステップ 4

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{2}$

ステップ 5

$x$ に関する $v^{2}$ の微分係数を取ります。

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ステップ 5.1

$v^{2}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

ステップ 5.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $v$ とします。

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

ステップ 5.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

ステップ 5.2.3

$u$ のすべての発生を $v$ で置き換えます。

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

ステップ 5.3

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = 2 v v'$

ステップ 6

元の方程式 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$ の $2 v v'$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{2}$ を $y$ に代入します。

$2 v v' + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 7

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 7.1

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 7.1.1

$2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $2 v$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1.1.1

$2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $2 v$ で割ります。

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.2

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.2.2

$\frac{d v}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.3

$v^{2}$ と $v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.3.1

$v$ を $\frac{1}{x} v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.3.2.1

$v$ を $2 v$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.4

$\frac{1}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{v}{x}}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.6

$\frac{v}{x}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.2.1.7

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1.1

${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.1.1.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{1}}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.1.2

簡約します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.2

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

ステップ 7.1.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{1}{2}$

ステップ 7.1.2

$v$ を $\frac{v}{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$

ステップ 7.1.3

$v$ と $\frac{1}{2 x}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{2 x} v = \frac{1}{2}$

ステップ 7.2

$P (x) = \frac{1}{2 x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 7.2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

ステップ 7.2.2

$\frac{1}{2 x}$ を積分します。

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ステップ 7.2.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 7.2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 7.2.2.3

簡約します。

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

ステップ 7.2.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

ステップ 7.2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 7.2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.3

各項に積分因数 $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1

各項に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x} v) = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$\frac{1}{2 x}$ と $v$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} \frac{v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{v}{2 x}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.2.3

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.2.4

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.2.4.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.2.4.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.2.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.2.4.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.3

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 7.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 7.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] d x = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

ステップ 7.6

左辺を積分します。

$x^{\frac{1}{2}} v = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

ステップ 7.7

右辺を積分します。

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ステップ 7.7.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 7.7.2

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 7.7.3

答えを簡約します。

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ステップ 7.7.3.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.7.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.7.3.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.7.3.2.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.3.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.7.3.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.3.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.7.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.7.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.8

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ の各項を $x^{\frac{1}{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ の各項を $x^{\frac{1}{2}}$ で割ります。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.8.2.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.1.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.8.3.1.2

指数を足して $x^{\frac{3}{2}}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.1.2.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$v = \frac{1}{3} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.8.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$v = \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.8.3.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 + 3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.8.3.1.2.4

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.8.3.1.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

$v = \frac{1}{3} x^{1} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.8.3.1.3

$\frac{1}{3} x^{1}$ を簡約します。

$v = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.8.3.1.4

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$v = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8

$y^{\frac{1}{2}}$ を $v$ に代入します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例